[!proposition]+ Représentation avec des couples
Le but est de trouver une fonction qui fasse l'association entre un nombre et un $p$-uplet (une suite de p entiers).
On veut montrer qu'il existe \alpha _{p} \in \mathscr{F}_{p} et \beta _{p}^{1}, \beta _{p}^{2}, \dots, \beta _{p}^{p} \in \mathscr{F}_{p} telles que \alpha _{p} est une bijection et que l'application réciproque de \alpha _{p} soit \lambda x. (\beta _{p}^{1}, \beta _{p}^{2}, \dots, \beta _{p}^{p})
- Couples :
On commence par construire
\alpha _{2} pour les couples, dont la réciproque doit être \lambda x. (\beta _{2}^{1}, \beta _{2}^{2}) :
Pour cela, on décide d'ordonner les couples d'entiers comme suit :
!attachments/ordre sur les couples d'entiers 2026-03-21 18.43.49.excalidraw
C'est-à-dire en suivant les diagonales à x+y constant, en commençant par x+y=0, puis x+y=1 ...
la valeur de \alpha_2(x, y) sera alors le nombre de couples précédant (x, y) dans cette énumération
tes
Considérons le couple (p, n) :
Il se trouve dans la diagonale p+n. Les couples avant cette diagonale sont au nombre de \frac{(p+n)(p+n+1)}{2}, et le couple (p, n) est le n^{\text{ème}} de sa diagonale.
Cela montre que \alpha _{2}(p, n) = \frac{1}{2}(p+n)(p+n+1)+n.
On peut ensuite retrouver \beta _{2}^{1} et \beta _{2}^{2} comme suit (à l'aide de schéma mu borné et de la fonction récursive primitive#^cloture-par-quantification-bornee) :
\beta _{2}^{1}(x) = \mu z \leq x \quad (\exists w\leq x,\quad \alpha_2(z, w) = x)\beta _{2}^{2}(x) = \mu z \leq x \quad (\exists w\leq x,\quad \alpha_2(w, z) = x)
Ces expressions cherchent à trouver le plus petit z que l'on puisse compléter pour former un couple dont l'image par \alpha_2 sera bien x
- Suites :
Les suites finies seront définissables par des couples contenant des couples :
- Triplets $\alpha_3$
\alpha_3(x, y, z) := \alpha _{2}(x, \alpha_2(y, z)) on représente (x, y, z) comme un couple (x, t) où t est l'entier correspondant à (y, z)
avec \beta _{3}^{1} = \beta_2^{1} \qquad \beta_3^{2}=\beta_2^{1} \circ \beta_2^{2} \qquad \beta_3^{3}=\beta_2^{2} \circ \beta_2^{2}
- 4-uplet $\alpha_4$
\alpha_4(x, y, z, w) := \alpha_3(x, y, \alpha_2(z, w)) = \alpha_2(x, \alpha_2(y, \alpha_2(z, w)))
avec \beta_4^{1} = \beta_2^{1} \qquad \beta_4^{2} = \beta_3^{2}=\beta_2^{1} \circ \beta_2^{2} \qquad \beta_4^{3}=\beta_2^{1} \circ \beta_3^{3}=\beta_2^{1}\circ\beta_2^{2}\circ\beta_2^{2} \qquad \beta_4^{4}=\beta_2^{2}\circ\beta_3^{3}=\beta_2^{2} \circ\beta_2^{2}\circ\beta_2^{2}
- en général $\alpha _{p}$
\alpha _{p+1}(x_1, x_2, \dots, x_{p}, x_{p+1}) := \alpha _{p}(x_1, x_2, \dots, \alpha_2(x_{p}, x_{p+1}))
avec \beta _{p+1}^{1} = \beta_p^{1} \qquad \beta _{p+1}^{2}=\beta_p^{1} \qquad \cdots \qquad \beta _{p+1}^{p}=\beta_2^{1} \circ\beta _{p}^{p} \qquad \beta _{p+1}^{p+1}=\beta_2^{2}\circ\beta _{p}^{p}
[!proposition]+ Seconde approche
On procède en définissant l'application de \mathscr{S} \to \mathbb{N} suivante :
\Omega((x_0, x_1, \dots, x_{p})) = \pi(0)^{x_0} \cdot \pi(1)^{x_1} \cdot\cdots \cdot \pi(p)^{x_{p}} (voir fonction pi)
On profite ici de la décomposition en facteurs premiers.
Par ailleurs, comme fonction pi#^recursive-primitive, on sait que \Omega est récursive primitive aussi
Montrons maintenant que la réciproque de \Omega est également récursive primitive :
définissons la fonction \delta \in \mathscr{F}_{2} :
\delta(i, x) := \mu z \leq x \quad (x \text{ n'est pas divisible par } \pi(i)^{z+1})
On sait que divisibilité#^recursive-primitive, ce qui montre que \delta est récursive primitive.
La fonction \lambda x. (\delta(1, x), \delta(2, x), \dots, \delta(p, x)) est bien la réciproque de \Omega
- i Cette approche est moins parfaite car
\Omega n'est pas bijective
