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cours/désintégration audioactive.md
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---
up:
- "[[suites particulières]]"
- "[[S2 LOGOS . mathématiques pour non spécialistes . rendu]]"
tags:
- s/maths
aliases:
- suite look-and-say
- audioactive decay
- look-and-say sequence
author:
- "[[John Horton Conway|John Conway]]"
header-auto-numbering:
- state off
---
<div style="height: 100pt"></div>
<div style="font-size: 60pt; text-align: center">Désintégration audioactive</div>
<div style="height: 50pt"></div>
<div style="font-size: 25pt; text-align: center">Oscar Plaisant</div>
<div style="font-size: 20pt; text-align: center; ">Pour le module <em>Mathématiques pour non spécialistes</em></div>
<div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div>
# Introduction
La *désintégration audioactive* (aussi appellée *suite* look-and-say, ou *suite de Conway*) est une suite d'entiers strictement positifs. Elle a notamment été étudiée par John H. Conway, bien qu'elle n'aie pas été décrite d'abord par lui (elle lui a été présentée par un étudiant, comme il l'indique dans une interview publiée en 2024 : [Look-and-Say Numbers (feat John Conway) - Numberphile](https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA)).
Son principe est assez simple : étant donné un nombre, on produit le suivant en "lisant" le précédent. Par exemple "11" se lit "deux uns" ce qui donne "21" ; à son tour "21" se lit "un deux, un un" soit "1211" et ainsi de suite :
- $1 \longrightarrow \text{un } 1$
- $11 \longrightarrow \text{deux }1$
- ${\color{#FCD600}2\color{#368CF3}1} \longrightarrow {\color{#FCD600}\text{un }2},\quad {\color{#368CF3}\text{un }1}$
- ${\color{#FCD600}1\color{#368CF3}2\color{#1B9419}11} \longrightarrow {\color{#FCD600}\text{un }1},\quad {\color{#368CF3}\text{un }2},\quad {\color{#1B9419}\text{deux }2}$
- $\underline{111\!}\,221 \longrightarrow \underline{\text{trois }1},\quad \text{deux }2,\quad \text{un } 1$
- $312211$
- $13112221$
- $1113213211$
La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
Pour donner une défintion précise et reproductible de la suite (et pour vérifier certains calculs) on pourra utiliser la définition suivante :
```python
def chaine_suivante(ch: list[int]) -> list[int]:
resultat = [] # future chaine
decompte = 0 # nombre de répétitions
index = 0 # index du parcours
valeur = ch[index] # valeur à compter
while index + 0 < len(ch):
if valeur == ch[index]:
decompte += 1 # incrémenter si la valeur est la même
else:
# enregister decompte,valeur dans résusltat si la valeur est nouvelle
resultat.append(decompte)
resultat.append(valeur)
valeur = ch[index]
decompte=1
index += 1
resultat.append(decompte)
resultat.append(valeur)
return resultat
```
<div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div>
# Notations
- Comme les éléments de la suite sont plutôt des suites finies de chiffres que des nombres uniques, on appellera **chaine** un terme de la suite.
- On assimilera toujours les éléments d'une chaine à des chiffres strictement positifs. Le théorème du jour 2 explicitera pourquoi $0$ et les nombres supérieurs à 10 n'ont pas d'intérêt particulier.
- On se permettra de confondre **chaine** et **sous-chaine** (sous-ensemble de chiffres consécutifs d'une chaine) lorsque l'on traitera de propriétés locales.
- On appellera **dérivation** le fait d'appliquer la règle de passage d'une chaine à la suivante.
- $L \longrightarrow L'$ signifie que $L$ dérive en $L'$ par désintégration audioactive
- On note aussi $L \longrightarrow L' \longrightarrow L'' \longrightarrow \cdots$ pour $L \longrightarrow L'$ et $L' \longrightarrow L''$ et $L'' \longrightarrow \cdots$
- On peut ajouter une condition : $L \xrightarrow{n\neq 2} L'$ signifie que $L$ dérive en $L'$ si $n \neq 2$.
- $L_{n}$ est le $n^{\text{ème}}$ *descendant* de $L$ (le résultat de $n$ dérivations de $L$)
- évidemment : $L_0 = L$ et $L_{n} \longrightarrow L_{n+1}$
- i on peut noter $L \xrightarrow{n} L_{n}$
- On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le **parsing**, c'est-à-dire la bonne manière de lire la chaîne
- = $\dots 233 \dots \longrightarrow \dots ,12,23, \dots$ mais $122111 \centernot{\longrightarrow} \dots ,12,23,1\dots$ même si $122111 \longrightarrow \dots 12231 \dots$
- On utilise $[$ et $]$ pour dénoter le *véritable début* et la *véritable fin* des sous-chaines
- = $[11222$ correspond à $11 222\cdots$ autrement dit, la chaine continue potentiellement à droite, mais pas à gauche
- On utilise les puissances pour la répétition
- = $3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111$
- i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, $11111$ ne sera jamais noté comme $1^{2}1^{3}$) (cela est important pour les premiers théorèmes)
- $X$ désigne un chiffre arbitraire (non nul)
- i si on écrit $[a^{\alpha}X^{\beta}$, on suppose que $a \neq X$ et que la suite de la chaine (s'il y en a une) n'est pas directement un $X$.
- = $X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ correspond à $[a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$
- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0}$ correspond à $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]$
- = $2^{2}X^{2}$ correspond à l'une des chaines : $2^{2}1^{2},\quad 2^{2}3^{2},\quad 2^{2}4^{2},\quad 2^{2}5^{2}, \dots$ (mais pas à $2^{2}2^{2} = 2^{4}$)
- = $2^{X}$ correspond à l'une des chaines : $2,\quad 2^{2},\quad 2^{3},\quad 2^{4}, \dots$ (mais ne peut pas être vide)
- $\neq n$ désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que $n$
- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0}$ signifie $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ suivi d'au moins un autre chiffre
- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0}$ signifie que ce dernier chiffre n'est pas un $2$
- = $n^{n}] \overset{(n\neq 2)}{\longrightarrow} n^{\neq n}] \to n'$
- On utilisera des analogies temporelles pour désigner le nombre de dérivations :
- "après 1 jour" pour "après une dérivation"
- "chaine âgée d'au moins 2 jour" pour "chaine issue de 2 dérivations successives"
- "après un certain temps" pour "après un certain nombre de dérivations"
- On notera $E_{n}$ l'élément de numéro $n$ (voir le [[désintégration audioactive#^liste-elements|tableau des éléments]])
# Propriétés
> [!proposition] conséquence du regroupement
> Pour une étape :
> $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
> Il est évident que :
> $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$
> - dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands $\alpha, \beta, \gamma, \delta\dots$ possibles
^regroupement
La localité de la fonction de dérivation (le fait que les chiffres éloignés ne s'influencent pas mutuellement dans la dérivation) sera très utile lorsque l'on considèrera les sous-chaines.
## Atomes
> [!definition] Découpage
> Parfois, une chaîne $LR$ est telle que les descendants de $L$ et de $R$ n'interferent jamais l'un avec l'autre, c'est-à-dire que :
> $\forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n}$
> On dit alors que $LR$ se **découpe** en $L . R$
> - i on note alors $L \cdot R$
> - i Il est évident que cela arrive lorsque le dernier chiffre de $L_{n}$ est toujours différent du premier chiffre de $R_{n}$ (ou bien quand l'une des deux est vide)
> ---
> - def On appelle **trivial** un découpage du type $[\;]\cdot L$ ou $L\cdot [\;]$
^def-decoupage
> [!definition] Atome
> Les **atomes** (ou *éléments*) sont les chaînes qui ne possèdent pas de [[désintégration audioactive#^def-decoupage|découpage]] non trivial.
^def-atome
- i toute chaîne est **composée** d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne **comprends** lesdits éléments.
## Théorèmes préliminaires
> [!proposition] Théorème du jour 1
> Les morceaux de type :
> 1. $,ax,bx,$
> 2. $x^{\geq 4}$
> 3. $x^{3}y^{3}$
>
> n'apparaîssent pas dans les chaînes agées d'un jour ou plus.
> > [!démonstration]- Démonstration
> > 1. $,ax,bx,$
> > - ! ce premier morceau à un parsing donné
> > La première possibilité doit venir de $x^{a}x^{b}$ qui aurait du être écrit $x^{a+b}$ dans la chaîne du jour précédent.
> > 2. $x^{\geq 4}$ soit $x^{n}$ pour $n \geq 4$
> > On peut parser cette expression de plusieurs manières.
> > - si $n$ est pair :
> > $,\underbrace{xx,xx,\dots,x x}_{\frac{n}{2} \text{ répétitions}},$ et au minimum $,xx,xx,$ pour $n = 4$. Il est évident que, dans ce cas, la dérivation ne peut pas donner cela puisque l'on aurait du regrouper tous ces $x$ : $x^{2\times x}$ n'est pas dérivé en $xx,xx$ mais en $(2\times x)x$
> > L'autre parsing possible est $x,\underbrace{xx, \dots, xx}_{\frac{n}{2}-1 \text{ répétitions}},x$ ce qui donne, à nouveau, le même résultat : $,x,x^{k},x,$ n'aurait pas du être dérivé ainsi, mais en $(k+2)x$
> > - si $n$ est impair : ($n\geq 5$)
> > À nouveau, ni $,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x,$ ni $[x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}},$ ne sont des dérivations correctes
> > 1. $x^{3}y^{3}$
> > Encore une fois, considérons les parsing possibles :
> > - $,xx,xy,yy,$ ne peut pas exister, puisque $,xy,yy,$ aurait du être dérivé en un $,ky,$
> > - $[x,xx,yy,y]$ ne peut pas exister puisque $\alpha x,x x$ aurait du être dérivé en $(\alpha+x) x$
> > Cela montre bien qu'aucune de ces formes ne peut exister après dérivation.
^thm-jour-1
> [!proposition] Théorème du jour 2
> - Aucun chiffre $\geq 4$ ne peut apparaître au jour 2 ou ensuite (sauf conservation d'un chiffre qui était déjà présent).
> - Un morceau $3 X 3$ (en particulier $3^{3}$) ne peut pas apparaître dans aucune chaîne âgée d'au moins 2 jours.
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - Un chiffre $\geq 4$ devrait venir d'un $x^{\geq 4}$, on on sait par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|Théorème du jour 1]] qu'un tel $x^{\geq 4}$ ne peut pas apparaître, ce qui montre bien qu'un chiffre $\geq 4$ ne peut pas apparaître après le jour 2
> > - i un chiffre $k>1$ quelconque peut apparaître au jour 1 si la chaîne de départ contient $,x^{k},$ puisque $,x^{k}, \to ,kx,$
> > - Un morceau $3X 3$ ne peut pas être parsé comme $3,x 3, y$ puisque l'on aurait alors $,\alpha 3, x 3, y$ mais cela ne peut pas être le résultat d'une dérivation (puisque la dérivation ne peut pas donner $,\alpha 3,x 3,$)
> > On doit donc nécessairement parser $3X 3$ comme $,3x,3y,$. Pour obtenir $,3x,3y,$, on doit avoir obtenu $x^{3}y^{3}$ au jour précédent, ce qui est impossible dès le jour 1 (par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|Théorème du jour 1]]). Cela montre bien que $3X 3$ est impossible dès le jour 2.
^thm-jour-2
> [!proposition] Théorème du début
> Soit $R$ un morceau d'une chaîne âgée de 2 jours ou plus.
> Le début de ses descendants finira toujours par se constituer en l'un des cycles suivants :
> - $\overparen{[ \; ]} \longrightarrow [\;] \longrightarrow [\;] \longrightarrow \cdots$
> - $\overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow$
> - $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
> - $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Explorons les valeurs possibles de $R$ en supposant que $R$ est âgée de 2 jours ou plus, et ne commence pas par $2^{2}$.
> > Eliminons à chaque fois les valeurs impossibles (notamment en utilisant les théorèmes [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|du jour 1]] et [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|du jour 2]]) :
> > - Si $R$ commence par $1$
> > - Si $R$ commence par $1^{1}$
> > - c $[1^{1}]$ impossible car ne peut pas être dérivé
> > - p $[1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1} \leftarrow [(\neq X)^{X}$ car $X^{X} \longrightarrow XX \longrightarrow 2X$
> > - down $[1^{1}X^{2}$ se divise en plusieurs cas, le seul possible étant $[1^{1}2^{2}$
> > - right $[1^{1}1^{2} = [1^{3}$ que l'on traitera plus tard
> > - p $[1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{2}(\neq X)^{X}$
> > - c $[1^{1}3^{2} \longleftarrow [3^{1}X^{3} = [3X,XX,$ impossible car de la forme $,aX,bX,$ ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
> > - c $[1^{1}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [(\geq 4)^{1}X^{\geq 4}$ impossible au [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|jour 1]]
> > - c $[1^{1}X^{3} = [1X,XX,$ impossible car de la forme $,aX,bX,$ ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
> > - c $[1^{1}X^{n\geq 4}$ impossible puisque $X^{n\geq 4}$ est impossible dès le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|jour 1]]
> > - Si $R$ commence par $1^{2}$ on $R= [1^{2}2^{\leq 3}$
> > - right $[1^{2}1^{1} = [1^{3}$
> > - c $[1^{2}1^{\geq2} = [1^{\geq 4}$ impossible
> > - p $[1^{2}2^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{1}n^{X}$
> > - p $[1^{2}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}$
> > - p $[1^{2}2^{3} \longleftarrow [1^{1}2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}n^{X}$
> > - c $[1^{2}2^{\geq 4}$ impossible
> > - c $[1^{2}3^{n \geq 1} \longleftarrow [1^{1}n^{3}$ impossible car $,1X,XX,$ est impossible
> > - c $[1^{2}(X\geq 4)$ impossible par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|théorème du jour 2]]
> > - Si $R$ commence par $1^{3}$ on a $R = [1^{3}X^{1} \text{ ou } [1^{3}2^{2}$
> > - p $[1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}$
> > - p $[1^{3}2^{2}$
> > - $[1^{3}1^{2}$ est évidemment exclus
> > - p $[1^{3}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{X}$
> > - c $[1^{3}2^{3} = [11,12,22$ impossible
> > - c $[1^{3}2^{\geq 4}$ impossible
> > - c $[1^{3}X^{3}=[11,1X,XX$ impossible
> > - Si $R$ commence par $2$ alors $R= [2^{1}X^{\leq 2}$
> > - down $[2^{1}X$ considérons les différentes possibilités :
> > - p $[2^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{2} \longleftarrow [X^{X}$
> > - p $[2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}XY \longleftarrow [X^{2}Y^{X}$
> > - c $[2^{1}X^{\geq 3} = [2X,XX, \dots$ impossible
> > - c $[2^{2}$ impossible par supposition car commencerait par $[22$
> > - p $[2^{3} \longleftarrow [2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{2}X^{X}$
> > - c $[2^{\geq 4}$ évidemment
> > - Si $R$ commence par $3$ alors $R =[3^{\leq 2}(\leq 2)^{2} \text{ ou } [3^{2}(\leq 2)^{1} \text{ ou } [3^{3}(\leq 2)^{3}$
> > - p $[3^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{3}$
> > - p $[3^{1}(\leq 2)^{2}$ puisque :
> > - p $[3^{1}1^{2}X \longleftarrow [1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1}$
> > - p $[3^{1}2^{2}X \longleftarrow [2^{3}X^{2}$ possible si $X \neq 2$
> > - c $[3^{1}(\geq 3)^{2}$ puisque:
> > - c $[3^{1}3^{2}=[3^{3}$ impossible
> > - c $[3^{1}(\geq 4)^{2} =[34,4\cdots$ impossible car $4$ ne peut pas apparaître
> > - c $[3^{1}X^{3} = [3X,XX$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
> > - p $[3^{2}(\leq 2)^1 \longleftarrow [3^{3}X^{\leq 2} \longleftarrow [3^{3}X^{3}$
> > - c $[3^{2}(\geq 3)^{1} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 3} = [33,3X,XX,\dots$ impossible
> > - p $[3^{2}(\leq 2)^{2}$ puisque :
> > - p $[3^{2}1^{2} \longleftarrow [3^{3}1^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}$
> > - p $[3^{2}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{3}X^{2}$
> > - c $[3^{2} (\geq 3)^{2}$ puisque :
> > - c $[3^{2}3^{2} = [3^{4}$ impossible
> > - c $[3^{2}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 4}$ impossible
> > - p $[3^{2}(\leq 2)^{3}$ puisque :
> > - p $[3^{2}1^{3} \longleftarrow [3^{3}1^{1}X^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}$
> > - p $[3^{2}2^{3} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2}n^{X}$
> > - c $[3^{2}(\geq 3)^{3}$ puisque :
> > - c $[3^{2}3^{3} = [3^{5}$
> > - c $[3^{2}(\geq 4)^{3} \longleftarrow [3^{3}(\geq 4)^{(\geq 4)}X^{(\geq 4)}$ impossible
> > - c $[3^{3}$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-2|théorème du jour 2]])
> > - down Si $R$ commence par un $n > 3$
> > - c $[(\geq 4)^{1} \leftarrow [X^{\geq 4}$ impossible
> > - c $[(\geq 4)^{2} \leftarrow [n^{n}$ pour $n \geq 4$ : impossible
> > - c de même pour tous les $[(\geq 4)^{\geq 3} \longleftarrow [n^{n}$ avec $n \geq 4$
> >
> > L'ensemble des possibilités se résume donc à :
> > - $[1^{1}] = [1^{1}X^{0}$
> > - $[1^{1}X^{1}$
> > - $[1^{1}2^{2}$
> > - $[1^{2}2^{\leq 3}$
> > - $[1^{3}X^{1}$ ou, plus généralement $[1^{3}$
> > - $[1^{3}2^{2}$ ou, plus généralement $[1^{3}$
> > - $[2^{1}X^{\leq 2}$
> > - $[2^{3}$
> > - $[3^{1}X^{1}$ que l'on restreint à $[3^{1}(\neq 1)^{1}$ pour éviter la superposition avec un autre cas
> > - $[3^{1}(\leq 2)^{2}$
> > - $[3^{2}(\leq 2)^{\leq 3}$ qui est l'une de ces deux possibilités :
> > - $[3^{2}1^{\leq 3}$
> > - $[3^{2}2^{\leq 3}$
> > - $[n^{1}$
> >
> > De là, on observe que toutes les possibilités convergent vers l'un des cycles donnés :
> > ![[demo_théorème_du_début.excalidraw|560]]
> >
> > Par ailleurs, si $R$ commence par $[22$ :
> > - si $R = [22]$ la preuve est triviale
> > - sinon on considère un $R'$ tel que $R = [22 \cdot R'$, et on utilise l'argument précédent pour montrer que $R'$ arrive sur le cycle $[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}$
> > ---
> >
> > On peut modifier cette liste :
> > - en assimilant $[3^{1}X^{1}$ et $[3^{1}(\leq 2)^{2}$ aux deux cas $[3^{1}X^{3}$, $[3^{1}X^{\leq 2}$
> > - en assimilant $[3^{2}(\leq 2)^{\leq 3}$ aux cas $[3^{2}X^{3}$, $[3^{2}X^{\leq 2}$
> > - en assimilant $[1^{3}2^{2}$ et $[1^{3}X^{1}$ au seul cas $[1^{3}$
> > - en assimilant $[1^{2}2^{\leq 3}$ à $[1^{2}X^{1}$ (qui est déjà listé) et $[1^{2}X^{\neq 1}$
> > - en séparant $[2^{1} X^{\leq 2}$ en $[2^{1}X^{2}$ et $[2^{1}X^{\neq 2}$
> > - en ajoutant $[1^{1}3^{2}$
> > Cela nous donne la liste suivante :
> > - $[1^{1}] = [1^{1}X^{0}$
> > - $[1^{1}X^{1}$
> > - $[1^{2}X^{1}$
> > - $[1^{1}2^{2}$
> > - $[1^{1}3^{2}$
> > - $[1^{2}X^{\neq 1}$
> > - $[1^{3}$
> > - $[2^{1}X^{2}$
> > - $[2^{1}X^{\neq 2}$
> > - $[2^{3}$
> > - $[3^{1}X^{3}$
> > - $[3^{1}X^{\leq 2}$
> > - $[3^{2}X^{3}$
> > - $[3^{2}X^{\leq 2}$
> > - $[n^{1}$
> >
> > Cela nous permet d'atteindre le schéma original de Conway :
> > ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=186&rect=12,345,377,408&width=800|schéma original de Conway p.186]]
^theoreme-debut
> [!proposition] théorème de découpage
> Une chaîne $LR$ âgée de 2 jours ou plus se découpe en $L \cdot R$ seulement dans ces cas :
>
> | L | R |
> | --------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- |
> | $n]$ | $[m$ |
> | $2]$ | $[1^1X^1$ ou $[1^{3}$ ou $[3^{1}X^{\neq 3}$ ou $[n^{1}$ |
> | $\neq 2]$ | $[2^{2} 1^{1}X^{1}$ ou $[2^{2}1^{3}$ ou $[2^{2}3^{1}X\neq 3$ ou $[2^{2}n^{(0 \text{ ou } 1)}$ |
> avec $n \geq 4$ et $m \leq 3$
> ou bien quand l'un des deux est vide ($L = [\;\;]$ ou $R = [\;\;]$, découpages triviaux)
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Cela suit directement du [[désintégration audioactive#^theoreme-debut|téorème du début]] appliqué à $R$, et du fait que le dernier chiffre de $L$ est constant
^theoreme-decoupage
^theoreme-de-decoupage
> [!proposition] Théorème de la fin
> La fin d'une chaîne finit toujours par atteindre l'un de ces cycles :
> ![[attachments/désintégration audioactive théorème de la fin cycles.excalidraw|950]]
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - Une chaîne se terminant par $1$ apparaîtra nécessairement dans cette suite de dérivations (en effet, tous les cas de chaîne finissant par $1$ y sont présents) :
> > $1^{\geq 3}] \longrightarrow \underbrace{(\neq 2)^{X}1^{1}]}_{\mathclap{\text{plus général que }(\geq 3)^{X}1^{1}]}} \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{2}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}2^{1}1^{1}] \longrightarrow \underbrace{2^{X\neq 2}1^{2}]}_{\mathclap{\text{fin de }(\neq 2)^{X}1^{1}2^{1}1^{2}]}} \longrightarrow 2^{2}1^{1}] \longrightarrow 2^{2}1^{2}] \longrightarrow 2^{3}1^{1}]$
> > Ce qui montre que toute chaîne se terminant par $1$ finit par atteindre une chaîne se terminant par $2^{3}1^{1}]$.
> > De là, en dérivant cette fin plusieurs fois, on obtient successivement :
> > - $\underbrace{(\neq 2)222}_{\hspace{-13ex}\mathrlap{\text{Par le thm. du jour 2}}}1]$
> > - $3211]$
> > - $31221]$
> > - $3112211]$
> > - $3212221]$
> > - $312113211]$
> > - $3111221131221]$
> > - $\underbrace{(\neq 3)33}_{\hspace{-5em}\mathrlap{\text{Par le thm. du jour 2}}}1222113112211]$
> > - $2\cdot \underbrace{\overbracket{\color{#FCD600}311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FCD600}322113212221]}_{\text{cycle }(1)}$
> > - $2\cdot \color{#FCD600}13211322211312113211]$
> > - $2\cdot \color{#FCD600}1113122113322113111221131221]$
> > - $2 \cdot 311311222\cdot \overbracket{\color{#FCD600}12}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}}\color{#FCD600}322211331222113112211]$
> > - $2\cdot 1321132132\cdot \overbracket{111}^{[1^{3}}2133\cdot \overbracket{2212}^{\mathclap{[2^{2}1^{1}X^{1}}}\cdot \underbrace{\overbracket{\color{#FCD600}311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FCD600}322113212221]}_{\text{cycle } (1)}$
> > - $2\cdot \overbracket{311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}}2112\cdot \overbracket{3\cdot \underbracket{22}_{\mathclap{[2^{2}1^{3}]}}}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}} 1112\cdot \overbracket{13}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}}211322211312113211$
> > - $2\cdot \overbracket{13}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}}21122112\cdot \overbracket{13}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}}22\cdot \overbracket{311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq_3}}}2\cdot \overbracket{\color{#FCD600}111}^{[1^{3}}\color{#FCD600}3122113322113111221131221$
> > - $2\cdot \overbracket{2213}^{\mathclap{[2^{2}1^{1}X^{1}}}2112\cdot \overbracket{311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}}311222\cdot \overbracket{12}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}}322211331222113112211$
> > - $2\cdot 1321132132\cdot \overbracket{111}^{[1^{3}}2133\cdot22\cdot \overbracket{\color{crimson}\underset{\ce{Ca}}{12}}^{\mathclap{[1^{1} X^{1}}}\cdot \overbracket{\color{#FCD600}311}^{\mathrlap{\hspace{-3ex}[3^{1}X^{\neq 3}}\hspace{-3ex}}\color{#FCD600}322113212221$
> >
> >
> > Ce qui montre bien que toute chaîne qui termine par $1$ finit par atteindre le cycle $(1)$.
> >
> > - Une chaîne se terminant par $n > 1$ sera dans cette suite de dérivations :
> > ![[désintégration audioactive théorème de la fin.excalidraw|950]]
> > Pour les cas différents de $2^{2}]$, on obtient cette suite de dérivations :
> > - $2211n]$
> > - $(\neq 2)2211n]$
> > - $(\neq 2)22211n]$
> > - $32211n]$
> > - $322211n]$
> > - $\underbrace{(\neq 3)33}_{\hspace{-5em}\mathrlap{\text{Par le thm. du jour 2}}}2211n]$
> > - $2322211n]$
> > - $21332211n]$
> > - $2112322211n]$
> > - $221121332211n]$
> > - $22112112322211n]$
> > - $2211221121332211n]$
> > - $221222112112322211n]$
> > - $21132211221121332211n]$
> > - $221132221222112112322211n]$
> > - $22113321132211221121332211n]$
> > - $22\cdot \overbracket{12}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot \overbracket{31}^{\hspace{-4ex}\mathrlap{[3^{1}X^{\neq 3}}}221132221222112112322211n]$
> > - $2\cdot \underbrace{\color{#FDC600}1311222113321132211221121332211n]}_{\text{cycle } (2)}$
> > - $2 \cdot \overbracket{111}^{\mathclap{[1^{3}}}32 \cdot \overbracket{13}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot 22 \cdot \overbracket{\color{crimson}\underset{\ce{Ca}}{12}}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot \overbracket{\color{#FDC600}31}^{\hspace{-4ex}\mathrlap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FDC600}221132221222112112322211n]$
> > - $2\cdot \underbrace{\color{#FDC600}1311222113321132211221121332211n]}_{\text{cycle } (2)}$
> >
> > Ainsi, toutes les chaînes qui se terminent par $n>1$ finissent par arriver soit au cycle $(2)$, soit au cycle $(3)$
> >
> > On a bien démontré que toute chaîne finit par atteindre l'un des 3 cycles décrits.
^theoreme-fin
## Éléments
Avant de continuer, il est nécessaire de poser une liste particulières de 92 atomes.
On a défini plus tôt ce qu'était un [[désintégration audioactive#^def-atome|atome]].
On peut alors décrire 92 atomes. Il est trivial de montrer que chacune de ces 92 chaînes est bien un atome (à l'aide du [[désintégration audioactive#^theoreme-de-decoupage|théorème de découpage]]).
Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fait bien 92 éléments).
> [!info] Liste des éléments
> | $n$ | nom | éléments dans la dérivée | chaîne | dérivée |
> | ------- | --- | ---------------- | ------------------------------------------ | ---------------------------------------------------- |
> | 1 | H | H (stable) | 22 | 22 |
> | 2 | He | Hf Pa H Ca Li | 13112221133211322112211213322112 | 11132132212312211322212221121123222112 |
> | 3 | Li | He | 312211322212221121123222112 | 13112221133211322112211213322112 |
> | 4 | Be | Ge Ca Li | 111312211312113221133211322112211213322112 | 3113112221131112211322212312211322212221121123222112 |
> | 5 | B | Be | 1321132122211322212221121123222112 | 111312211312113221133211322112211213322112 |
> | 6 | C | B | 3113112211322112211213322112 | 1321132122211322212221121123222112 |
> | 7 | N | C | 111312212221121123222112 | 3113112211322112211213322112 |
> | 8 | O | N | 132112211213322112 | 111312212221121123222112 |
> | 9 | F | O | 31121123222112 | 132112211213322112 |
> | 10 | Ne | F | 111213322112 | 31121123222112 |
> | 11 | Na | Ne | 123222112 | 111213322112 |
> | 12 | Mg | Pm Na | 3113322112 | 132123222112 |
> | 13 | Al | Mg | 1113222112 | 3113322112 |
> | 14 | Si | Al | 1322112 | 1113222112 |
> | 15 | P | Ho Si | 311311222112 | 13211321322112 |
> | 16 | S | P | 1113122112 | 311311222112 |
> | 17 | Cl | S | 132112 | 1113122112 |
> | 18 | Ar | Cl | 3112 | 132112 |
> | 19 | K | Ar | 1112 | 3112 |
> | 20 | Ca | K | 12 | 1112 |
> | 21 | Sc | Ho Pa H Ca Co | 3113112221133112 | 132113213221232112 |
> | 22 | Ti | Sc | 11131221131112 | 3113112221133112 |
> | 23 | V | Ti | 13211312 | 11131221131112 |
> | 24 | Cr | V | 31132 | 13211312 |
> | 25 | Mn | Cr Si | 111311222112 | 311321322112 |
> | 26 | Fe | Mn | 13122112 | 111311222112 |
> | 27 | Co | Fe | 32112 | 13122112 |
> | 28 | Ni | Zn Co | 11133112 | 31232112 |
> | 29 | Cu | Ni | 131112 | 11133112 |
> | 30 | Zn | Cu | 312 | 131112 |
> | 31 | Ga | Eu Ca Ac H Ca Zn | 13221133122211332 | 11132221231132212312 |
> | 32 | Ge | Ho Ga | 31131122211311122113222 | 132113213221133122211332 |
> | 33 | As | Ge Na | 11131221131211322113322112 | 31131122211311122113222123222112 |
> | 34 | Se | As | 13211321222113222112 | 11131221131211322113322112 |
> | 35 | Br | Se | 3113112211322112 | 13211321222113222112 |
> | 36 | Kr | Br | 11131221222112 | 3113112211322112 |
> | 37 | Rb | Kr | 1321122112 | 11131221222112 |
> | 38 | Sr | Rb | 3112112 | 1321122112 |
> | 39 | Y | Sr U | 1112133 | 31121123 |
> | 40 | Zr | Y H Ca Tc | 12322211331222113112211 | 11121332212311322113212221 |
> | 41 | Nb | Er Zr | 1113122113322113111221131221 | 31131122212322211331222113112211 |
> | 42 | Mo | Nb | 13211322211312113211 | 1113122113322113111221131221 |
> | 43 | Tc | Mo | 311322113212221 | 13211322211312113211 |
> | 44 | Ru | Eu Ca Tc | 132211331222113112211 | 111322212311322113212221 |
> | 45 | Rh | Ho Ru | 311311222113111221131221 | 1321132132211331222113112211 |
> | 46 | Pd | Rh | 111312211312113211 | 311311222113111221131221 |
> | 47 | Ag | Pd | 132113212221 | 111312211312113211 |
> | 48 | Cd | Ag | 3113112211 | 132113212221 |
> | 49 | In | Cd | 11131221 | 3113112211 |
> | 50 | Sn | In | 13211 | 11131221 |
> | 51 | Sb | Pm Sn | 3112221 | 13213211 |
> | 52 | Te | Eu Ca Sb | 1322113312211 | 1113222123112221 |
> | 53 | I | Ho Te | 311311222113111221 | 13211321322113312211 |
> | 54 | Xe | I | 11131221131211 | 311311222113111221 |
> | 55 | Cs | Xe | 13211321 | 11131221131211 |
> | 56 | Ba | Cs | 311311 | 13211321 |
> | 57 | La | Ba | 11131 | 311311 |
> | 58 | Ce | La H Ca Co | 1321133112 | 11131221232112 |
> | 59 | Pr | Ce | 31131112 | 1321133112 |
> | 60 | Nd | Pr | 111312 | 31131112 |
> | 61 | Pm | Nd | 132 | 111312 |
> | 62 | Sm | Pm Ca Zn | 311332 | 13212312 |
> | 63 | Eu | Sm | 1113222 | 311332 |
> | 64 | Gd | Eu Ca Co | 13221133112 | 11132221232112 |
> | 65 | Tb | Ho Gd | 3113112221131112 | 132113213221133112 |
> | 66 | Dy | Tb | 111312211312 | 3113112221131112 |
> | 67 | Ho | Dy | 1321132 | 111312211312 |
> | 68 | Er | Ho Pm | 311311222 | 1321132132 |
> | 69 | Tm | Er Ca Co | 11131221133112 | 3113112221232112 |
> | 70 | Yb | Tm | 1321131112 | 11131221133112 |
> | 71 | Lu | Yb | 311312 | 1321131112 |
> | 72 | Hf | Lu | 11132 | 311312 |
> | 73 | Ta | Hf Pa H Ca W | 13112221133211322112211213322113 | 11132132212312211322212221121123222113 |
> | 74 | W | Ta | 312211322212221121123222113 | 13112221133211322112211213322113 |
> | 75 | Re | Ge Ca W | 111312211312113221133211322112211213322113 | 3113112221131112211322212312211322212221121123222113 |
> | 76 | Os | Re | 1321132122211322212221121123222113 | 111312211312113221133211322112211213322113 |
> | 77 | Ir | Os | 3113112211322112211213322113 | 1321132122211322212221121123222113 |
> | 78 | Pt | Ir | 111312212221121123222113 | 3113112211322112211213322113 |
> | 79 | Au | Pt | 132112211213322113 | 111312212221121123222113 |
> | 80 | Hg | Au | 31121123222113 | 132112211213322113 |
> | 81 | Tl | Hg | 111213322113 | 31121123222113 |
> | 82 | Pb | Tl | 123222113 | 111213322113 |
> | 83 | Bi | Pm Pb | 3113322113 | 132123222113 |
> | 84 | Po | Bi | 1113222113 | 3113322113 |
> | 85 | At | Po | 1322113 | 1113222113 |
> | 86 | Rn | Ho At | 311311222113 | 13211321322113 |
> | 87 | Fr | Rn | 1113122113 | 311311222113 |
> | 88 | Ra | Fr | 132113 | 1113122113 |
> | 89 | Ac | Ra | 3113 | 132113 |
> | 90 | Th | Ac | 1113 | 3113 |
> | 91 | Pa | Th | 13 | 1113 |
> | 92 | U | Pa | 3 | 13 |
^liste-elements
On notera $E_{n}$ l'élément de numéro $n$ (par exemple, $E_1$ correspond à l'hydrogène, $22$)
## Théorèmes sur les éléments
> [!proposition] Théorème chimique
> 1. les descendents de chacun des 92 éléments sont des composés de ces éléments
> Autrement dit : $\forall A \text{ élément},\quad A \longrightarrow X_1\cdot X_2\cdot \cdots \quad \text{ où }X_1,X_2,\dots \text{ sont des éléments}$
> 2. Tous les descendants suffisament âgés de chacun des éléments (autres que l'Hydrogène $22$) contiennent simultanément les 92 éléments (et on peut borner le nombre de dérivations nécessaires pour atteindre cet état).
> Autrement dit : $\forall A \text{ élément},\quad \exists n\in \mathbb{N},\quad A \longrightarrow^{(n)} X \quad \text{où } X \text{ contient tous les 92 éléments}$
> 3. Les descendants de toutes les chaînes autres que $[\;]$ et $[22]$ finissent (après un nombre borné de dérivations) par contenir les 92 éléments simultanément.
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > 1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations.
> > 2. Cela est également montré par la table des élément.
> > > [!info] Principe de la démonstration :
> > > a. montrer que si un élément apparaît, alors n'importe quel autre élément finira par apparaître
> > > b. montrer que si le Lithium ($Li = E_{3}$) apparaît, alors il finira par être présent dans toutes les chaînes après un certain temps
> > > c. montrer que le Lithium engendre l'Uranium
> > > d. montrer que l'Uranium engendre tous les autres éléments
> > > e. conclure
> >
> > En effet, pour tout $E_{n}$ (pour $n\geq 2$) contient, dans sa chaine dérivée, l'élément $E_{n-1}$.
> > Pour plus de clarté, on utilisera la notation $E_{n} \xrightarrow{k} E_{i} \& E_{j} \& \cdots$ au lieu de $\forall C \text{ chaine},\quad \forall t\in \mathbb{N},\quad E_{n} \in C_{t} \implies E_{i} \in C_{t+k} \wedge E_{j}\in C_{t+k}\dots$
> > Ainsi, si l'on considère une chaine $C$ telle que l'élément $E_{n}$ apparaît après $t$ dérivations (dans $C_{t}$), et soit $m\leq n$ on peut affirmer que tous les éléments présents dans la dérivée de l'élément $E_{m}$ (colonne "éléments dans la dérivée", ligne $m$ du tableau) seront présents après $t+n-m$ dérivations (dans $C_{t+n-m}$). Autrement dit : $E_{n} \xrightarrow{n-m} \text{éléments dans la dérivée de }E_{m}$
> > Ainsi on obtient que :
> > - $E_{n} \xrightarrow{n-1} \ce{Hf} \& \ce{Li}$ (dès que $n\geq 2$)
> > - $\begin{cases} \ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li} \\\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li} \end{cases}$ (car $\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$ et car $\ce{Hf} \xrightarrow{69} \ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\& \ce{Li}$)
> > - $\ce{Hf} \xrightarrow{34} \ce{Sr}\& \ce{U}$
> > - $\ce{U} \xrightarrow{92-n} E_{n}$
> > De ces propriétés, on peut déduire que si l'un des éléments (différent de l'Hydrogène) contenu dans une chaîne $C_{t_0}$ à une étape $t_0$, alors :
> > - Un $C_{\leq t_0 + 100}$ contiendra simultanément du Hafnium et du Lithium (la borne de $t_0+100$ n'est pas la plus petite possible mais elle est suffisante)
> > - cela est montré par $E_{n}\xrightarrow{n-1} \ce{Hf}\& \ce{Li}$ pour $n\geq 2$, et par le fait qu'il y à 92 (donc moins de 100) éléments.
> > - Tous les $C_{\geq t_0+ 200}$ contiendront simultanément du Hafnium et du Lithium
> > - on sait déjà qu'un $C_{\leq t_0+100}$ contient simultanément du Hafnium et du Lithium. Comme $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, on sait qu'un descendant sur deux contiendra également du Hafnium et du Lithium, autrement dit : $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k}$. Pour les $t$ pairs, on utilise le fait que $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, ainsi $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k + 71}$. En combinant les deux résultat on a bien la propriété voulue.
> > - Tous les $C_{\geq t_0 + 300}$ contiendront de l'Uranium
> > - Cela découle de deux propriétés déjà montrées : que tous les $C_{\geq t_0 + 200}$ contiennent du Hafnium, et que $\ce{Hf}\xrightarrow{34}\ce{U}$.
> > - Tous les $C_{\geq t_0 + 400}$ contiendront simultanément tous les éléments
> > - $\ce{U} \in C_{t_0+300}$ donc $\ce{Pa} \in C_{t_0+301}$, et même $\ce{U\&}\ce{Pa} \in C_{t_0 + 301}$ par la propriété précédente. Pour les mêmes raison : $\ce{U\&Pa\&Th} \in C_{t_0+302},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac} \in C_{t_0+303},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac\&Ra} \in C_{t_0+303},\dots$ et ainsi de suite.
> > 1. Soit $L$ une chaîne différente de $[\;]$ ou $[22]$.
> > Si $L$ est de la forme $L'2^{2}]$, on considère $L'$ à la place de $L$ (on ignore le $2^{2}]$). On sait que l'on peut faire ce découpage : $(X\neq 2)\cdot 2^{2}] \longrightarrow (X \neq 2)\cdot 2^{2}$.
> > Ainsi, on peut affirmer que $L$ correspond soit au cycle $(1)$, soit au cycle $(2)$ dans le théorème de la fin. En observant la preuve du théorème de la fin, on remarque l'apparition du Calcium (la chaîne $\color{crimson}12$ notée $\ce{Ca}$ et indiquée en <span style="color: crimson">rouge</span>) dans les deux cycles, ce qui montre qu'un descendant assez avancé de $L$ contient du Calcium.
> > Il est manifeste que l'apparition du Calcium se fait en un nombre borné d'étapes.
> > La propriété 2. permet de conclure.
> [!definition] Chaine commune
> Une **chaine commune** est une chaine exclusivement composée d'éléments.
> [!proposition] Théorème arithmétique
> 4. Les longueurs de toutes les chaines communes (autres que les cas triviaux $[\;]$ et $[22]$) augmentent selon une progression géométrique, avec une même raison $\lambda > 1$.
> 5. Les abondances relatives des éléments dans ces chaines convergent vers une valeur fixe, strictement positive pour tous les éléments.
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On note $\operatorname{lg}[L]$ la *longueur* d'une chaine (son nombre de chiffres) et $\operatorname{ne}[L]$ le *nombre d'éléments* (en comptant les doublons) contenus dans une chaine $L$.
> > Par exemple, $\operatorname{lg}[3223] = 4$ et $\operatorname{ne}[3223] = \operatorname{ne}[\ce{U \cdot H \cdot U}] = 3$.
> > Comme tous les éléments ont une comprise entre $1$ et $42$, on peut assimiler la longueur au nombre d'éléments dans le calcul de $\lambda$. Formellement, si $L_0$ est une chaine commune :
> > $\forall n,\quad \operatorname{ne}[L_{n}] \leq \operatorname{lg}[L_{n}] \leq 48 \cdot \operatorname{ne}[L_{n}]$
> > Donc :
> > $\displaystyle\forall n,\quad \frac{\operatorname{ne}[L_{n+1}]}{\operatorname{ne}[L_{n}]} \leq \frac{\operatorname{lg}[L_{n+1}]}{\operatorname{lg}[L_{n}]} \leq \frac{48 \cdot \operatorname{ne}[L_{n+1}]}{48\cdot \operatorname{ne}[L_{n}]}$
> > Ce qui montre bien que $\forall n,\quad \dfrac{\operatorname{lg}[L_{n+1}]}{\operatorname{lg}[L_{n}]} = \dfrac{\operatorname{ne}[L_{n+1}]}{\operatorname{ne}[L_{n}]}$.
> > Or, comme $\lambda$ est l'éventuelle limite de $\dfrac{\operatorname{lg}[L_{n+1}]}{\operatorname{lg}[L_{n}]}$, on pourra aussi bien calculer $\lambda$ en considérant la longueur que le nombre d'éléments.
> >
> > 1. Soit $L_0$ une chaine commune, notons $\#_{E_{k}}[L_0]$ le nombre d'occurences de l'élément $E_{k}$ dans $L_0$.
> > Par exemple $\operatorname{ne}[L_{n}] =\sum\limits_{k=1}^{92} \#_{E_{k}}[L_n]$.
> > Représentons alors $L_{n}$ comme un vecteur de $\mathbb{N}^{92}$ : la $k^{\text{ème}}$ coordonnée sera le nombre d'occurence de $E_{k}$ dans $L_{n}$. On notera $v^{(n)} =\operatorname{vec}[L_{n}] = (\#_{E_1}[L_{n}],\quad \#_{E_2}[L_{n}],\quad \#_{E_{3}}[L_{n}], \dots,\quad \#_{E_{92}}[L_{n}])$.
> > Autrement dit :
> > $\forall k \in [\![ 1; 92]\!],\quad v^{(n)}{}_{k} = \operatorname{vec}[L_{n}]_{k} = \#_{E_{k}}[L_{n}]$
> > $v^{(n)}$ est donc le vecteur comptant les occurences des éléments dans $L_{n}$.
> > Par la propriété 1. du théorème chimique, on sait que cette représentation vectorielle est «&nbsp;suffisante&nbsp;» puisque l'on peut passer de $v^{(n)}$ à $v^{(n+1)}$ en faisant un comptage adéquat de la nouvelle quantité de chaque élément (et cela décrit bien l'entièreté du contenu de $L_{n+1}$) :
> > $\forall k \in [\![1; 92]\!],\quad v^{(n+1)}{}_{k} = \sum\limits_{i=1}^{92}v^{(n)}{}_{k}\cdot\#_{E_{k}}[E_{i}{}']$
> > On remarque que cette formule ressemble à celle qui définit la multiplication d'une matrice par un vecteur :
> > $(v\cdot M)_{k} = \sum\limits_{i} v_{k} \cdot M_{i,k}$
> > En particulier, pour le passage de $v^{(n)}$ à $v^{(n+1)}$, la matrice sera définie par :
> > $\forall i,j \in [\![1, 92]\!],\quad M_{i, j} = \#_{E_j}[E_{i}{}']$ avec $M \in \mathcal{M}_{92}(\mathbb{N})$
> > Ainsi, on obtient $\boxed{v^{(n+1)} = v^{(n)}\cdot M = v^{(0)}\cdot M^{n+1}}$
> > La propriété définissant $\lambda$ peut alors se formuler comme $v^{(0)}\cdot M^{n+1} = \lambda \cdot v^{(0)}\cdot M^{n} \iff v^{(0)} \cdot M = \lambda \cdot v^{(0)}$ (en négligeant les formalismes de passage à la limite). Cela indique que $\lambda$ doit être une valeur propre de $M$.
> > Pour être plus formel, on suppose à l'inverse que $\Lambda$ est une valeur propre de $M$ (celle de plus grand module) correspondant au vecteur propre $v^{p}$. On remarque alors que $v^{p}M^{n}$ est proportionnel à $\Lambda^{n}$ (par définition des valeurs propres), autrement dit $v^{p}M^{n}= \Lambda^{n}\cdot v^{p}$.
> > Le théorème de Perron-Froenbius nous permet d'affirmer que, puisque $M$ est carrée et positive, la valeur propre de plus grand module,$\Lambda$, est positive et unique. De là, on tire le fait que $v^{(0)}M^{n} \leq \Lambda^{n}\cdot v^{p}$.
> > Le théorème chimique permet d'affirmer que, asymptotiquement, la croissance de $(\operatorname{ne}[L_{n}])_{n \in \mathbb{N}}$ sera au moins égale à chacune de celles engendrée par un vecteur contenant un unique élément.
> > Puisque chaque élément engendre tous les autres, et puisque les 92 vecteurs représentant un élément seul forment une base de $\mathbb{N}^{92}$, et par le théorème chimique, on comprend que la croissance limite de raison $\lambda$ sera asymptotiquement atteinte par $(v^{(n)})_{n \in \mathbb{N}}$.
> > Il est évident que $\lambda > 1$ par définition de la suite.
> > Cela montre la propriété recherchée.
> [!proposition] Valeur de $\lambda$ et croissance de la suite
> L'annexe 1 fournit le code permettant de calculer une approximation de $\lambda$.
> L'approximation obtenue est $\lambda \approx 1.3035772690343037$
> Il est évident que $\lambda$ est un nombre algébrique de degré $92$. Il se trouve qu'il est même de degré 71 [voir @OpenProblemsCommunication1987 p.188].
> ---
> Puisque la longueur $lg[L_{n}]$ et la valeur de $L_{n}$ en tant que nombre sont reliés par un encadrement logarithmique : $\operatorname{lg}[L_{n}] \leq \log_{10}(L_{n}) < \operatorname{lg}[L_{n}] + 1$, on peut en déduire assez directement que $L_{n} = O(10^{(\lambda^{n})})$
> [!proposition] Théorème cosmologique
> Toute chaine (autre que $[\;]$ et $[22]$) finit, après un nombre borné de dérivations, par engendrer des chaines communes. Cela permet d'appliquer le théorème chimique à toutes les chaines.
> > [!démonstration]- Démonstration
> > La démonstration serait trop complexe pour le cadre de ce devoir. Conway lui-même ne l'a pas publiée dans son article *The weird and wonderful chemistry of audioactive decay*.
> >
> > La preuve originale de Conway et ses collègues contenait un grand nombre de cas à prouver. La preuve originale et une seconde preuve ont été perdues par Conway et ses collèges[^cos-thm-lost].
> > Des preuves ont été produites par la suite, par exemple celle-ci se basant sur l'étude d'automates en lien avec la suite : [@lairezConwaysCosmologicalTheorem2025].
> > Une approche peut-être plus similaire à celle de Conway et ses collègues serait peut être de tester algorithmiquement les cas pertinents[^preuve-algo].
> >
[^cos-thm-lost]: «&nbsp;Proof of the Cosmological Theorem would fill the rest of this book! Richard Parker and I found a proof over a period of about a month of very intensive work (or, rather, play!). We first produced a very subtle and complicated argument, which (almost) reduced the problem to tracking a few hundred cases, and then handled these on dozens of sheets of paper (now lost). Mike Guy found a simpler proof that used tracking and backtracking in roughly equal proportions. Guy’s proof still filled lots of pages (almost all lost) but had the advantage that it found the longest-lived of the exotic elements, namely, the isotopes of Merhuselum (2233322211n ; see Figure 2). Can you find a proof in only a few pages? Please!&nbsp;» [@OpenProblemsCommunication1987 p.]
[^preuve-algo]: C'est ce que font Ekhad & Zeilberger : «&nbsp;[We compute] iteratively all non-splittable string of length $i$ ($i = 1, 2, \dots$) that might concievably be substrings ('chunks') of an atom in the splitting of a 9-day-old-string (by backtracking, examining its possible ancestors up to (at most) 8 days back and rejecting those that lead to grammatically incorrect ancestors [...]). Every time a string of length $i$ is accepted, its longevity (number of days it takes to decay to stable or transuranic elements) is computed, and checked whether it is finite. The maximal longevity turned out to be 20. The program halts if and when $i$ is reached for which the set of such concievable string of length $i$ is empty.&nbsp;» [@ZeilbergerDoronCosmologicalTheorem]
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# Annexes
## Annexe 0 - Au sujet du présent document
Ce document est inspiré de l'article « *The weird and wonderful chemistry of audioactive decay* » [@coverOpenProblemsCommunication1987] de John H. Conway, dont il tire son ordre démonstratif ainsi que certaines notations. Cependant, je ne l'ai pas produit en «&nbsp;fait confiance&nbsp;» à l'article original : j'ai reproduit chacun des calculs explicités, modifié certaines preuves et explicité des points que Conway avait laissé au lecteur.
## Annexe 1 - Code source utilisé pour le calcul
```python
import numpy as np
# Liste de dictionnaires représentant les éléments
ELEMENTS = [{"num": 1, "name": "H", "deriv": ["H"]}, #{{{
{"num": 2, "name": "He", "deriv": ["Hf","Pa","H","Ca","Li"]},
{"num": 3, "name": "Li", "deriv": ["He"]},
{"num": 4, "name": "Be", "deriv": ["Ge","Ca","Li"]},
{"num": 5, "name": "B", "deriv": ["Be"]},
{"num": 6, "name": "C", "deriv": ["B"]},
{"num": 7, "name": "N", "deriv": ["C"]},
{"num": 8, "name": "O", "deriv": ["N"]},
{"num": 9, "name": "F", "deriv": ["O"]},
{"num": 10, "name": "Ne", "deriv": ["F"]},
{"num": 11, "name": "Na", "deriv": ["Ne"]},
{"num": 12, "name": "Mg", "deriv": ["Pm", "Na"]},
{"num": 13, "name": "Al", "deriv": ["Mg"]},
{"num": 14, "name": "Si", "deriv": ["Al"]},
{"num": 15, "name": "P", "deriv": ["Ho", "Si"]},
{"num": 16, "name": "S", "deriv": ["P"]},
{"num": 17, "name": "Cl", "deriv": ["S"]},
{"num": 18, "name": "Ar", "deriv": ["Cl"]},
{"num": 19, "name": "K", "deriv": ["Ar"]},
{"num": 20, "name": "Ca", "deriv": ["K"]},
{"num": 21, "name": "Sc", "deriv": ["Ho", "Pa", "H", "Ca", "Co"]},
{"num": 22, "name": "Ti", "deriv": ["Sc"]},
{"num": 23, "name": "V", "deriv": ["Ti"]},
{"num": 24, "name": "Cr", "deriv": ["V"]},
{"num": 25, "name": "Mn", "deriv": ["Cr", "Si"]},
{"num": 26, "name": "Fe", "deriv": ["Mn"]},
{"num": 27, "name": "Co", "deriv": ["Fe"]},
{"num": 28, "name": "Ni", "deriv": ["Zn", "Co"]},
{"num": 29, "name": "Cu", "deriv": ["Ni"]},
{"num": 30, "name": "Zn", "deriv": ["Cu"]},
{"num": 31, "name": "Ga", "deriv": ["Eu", "Ca","Ac","H","Ca","Zn"]},
{"num": 32, "name": "Ge", "deriv": ["Ho", "Ga"]},
{"num": 33, "name": "As", "deriv": ["Ge", "Na"]},
{"num": 34, "name": "Se", "deriv": ["As"]},
{"num": 35, "name": "Br", "deriv": ["Se"]},
{"num": 36, "name": "Kr", "deriv": ["Br"]},
{"num": 37, "name": "Rb", "deriv": ["Kr"]},
{"num": 38, "name": "Sr", "deriv": ["Rb"]},
{"num": 39, "name": "Y", "deriv": ["Sr", "U"]},
{"num": 40, "name": "Zr", "deriv": ["Y","H","Ca","Tc"]},
{"num": 41, "name": "Nb", "deriv": ["Er", "Zr"]},
{"num": 42, "name": "Mo", "deriv": ["Nb"]},
{"num": 43, "name": "Tc", "deriv": ["Mo"]},
{"num": 44, "name": "Ru", "deriv": ["Eu", "Ca","Tc"]},
{"num": 45, "name": "Rh", "deriv": ["Ho", "Ru"]},
{"num": 46, "name": "Pd", "deriv": ["Rh"]},
{"num": 47, "name": "Ag", "deriv": ["Pd"]},
{"num": 48, "name": "Cd", "deriv": ["Ag"]},
{"num": 49, "name": "In", "deriv": ["Cd"]},
{"num": 50, "name": "Sn", "deriv": ["In"]},
{"num": 51, "name": "Sb", "deriv": ["Pm", "Sn"]},
{"num": 52, "name": "Te", "deriv": ["Eu", "Ca","Sb"]},
{"num": 53, "name": "I", "deriv": ["Ho", "Te"]},
{"num": 54, "name": "Xe", "deriv": ["I"]},
{"num": 55, "name": "Cs", "deriv": ["Xe"]},
{"num": 56, "name": "Ba", "deriv": ["Cs"]},
{"num": 57, "name": "La", "deriv": ["Ba"]},
{"num": 58, "name": "Ce", "deriv": ["La", "H","Ca","Co"]},
{"num": 59, "name": "Pr", "deriv": ["Ce"]},
{"num": 60, "name": "Nd", "deriv": ["Pr"]},
{"num": 61, "name": "Pm", "deriv": ["Nd"]},
{"num": 62, "name": "Sm", "deriv": ["Pm", "Ca","Zn"]},
{"num": 63, "name": "Eu", "deriv": ["Sm"]},
{"num": 64, "name": "Gd", "deriv": ["Eu", "Ca","Co"]},
{"num": 65, "name": "Tb", "deriv": ["Ho", "Gd"]},
{"num": 66, "name": "Dy", "deriv": ["Tb"]},
{"num": 67, "name": "Ho", "deriv": ["Dy"]},
{"num": 68, "name": "Er", "deriv": ["Ho", "Pm"]},
{"num": 69, "name": "Tm", "deriv": ["Er", "Ca","Co"]},
{"num": 70, "name": "Yb", "deriv": ["Tm"]},
{"num": 71, "name": "Lu", "deriv": ["Yb"]},
{"num": 72, "name": "Hf", "deriv": ["Lu"]},
{"num": 73, "name": "Ta", "deriv": ["Hf", "Pa","H","Ca","W"]},
{"num": 74, "name": "W", "deriv": ["Ta"]},
{"num": 75, "name": "Re", "deriv": ["Ge", "Ca","W"]},
{"num": 76, "name": "Os", "deriv": ["Re"]},
{"num": 77, "name": "Ir", "deriv": ["Os"]},
{"num": 78, "name": "Pt", "deriv": ["Ir"]},
{"num": 79, "name": "Au", "deriv": ["Pt"]},
{"num": 80, "name": "Hg", "deriv": ["Au"]},
{"num": 81, "name": "Tl", "deriv": ["Hg"]},
{"num": 82, "name": "Pb", "deriv": ["Tl"]},
{"num": 83, "name": "Bi", "deriv": ["Pm", "Pb"]},
{"num": 84, "name": "Po", "deriv": ["Bi"]},
{"num": 85, "name": "At", "deriv": ["Po"]},
{"num": 86, "name": "Rn", "deriv": ["Ho", "At"]},
{"num": 87, "name": "Fr", "deriv": ["Rn"]},
{"num": 88, "name": "Ra", "deriv": ["Fr"]},
{"num": 89, "name": "Ac", "deriv": ["Ra"]},
{"num": 90, "name": "Th", "deriv": ["Ac"]},
{"num": 91, "name": "Pa", "deriv": ["Th"]},
{"num": 92, "name": "U", "deriv": ["Pa"]}]
#}}}
# dictionnaire numéro --> élément
# permet de retrouver un élément par son numéro atomique
NUM_OF = {elt["name"]: elt["num"] for elt in ELEMENTS}
#####################################################
# CRÉATION DE LA MATRICE DES DÉRIVATIONS D'ÉLÉMENTS #
#####################################################
# initialisation
matrix = [[0 for _ in range(len(ELEMENTS))] for _ in range(len(ELEMENTS))]
# remplissage
for elt in ELEMENTS:
num = elt["num"]
for dv_elt in elt["deriv"]:
matrix[num-1][NUM_OF[dv_elt]-1] += 1
# conversion en tableau numpy
matrix = np.array(matrix)
# AFFICHER LA MATRICE
print("Matrice 𝑀 :")
print("┏", "━"*92, "┓\n┃",
"┃\n┃".join([''.join([" 12│12─12┼12"[val + 3*(9==col%10) + 6*(9==ln%10)] for col, val in enumerate(line)]) for ln, line in enumerate(matrix)]),
"┃\n┗", "━"*92, "┛",
sep="")
# CALCUL DE λ
eigvals = np.linalg.eigvals(matrix)
λ = eigvals[np.argmax(np.abs(eigvals))]
print(f"λ = {np.real(λ)} + {np.imag(λ)}𝑖")
```
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# Bibliographie et Notes
Cover, T. M., & Gopinath, B. (1987). _Open problems in communication and computation_. Springer-Verlag.
Ekhad, S. B., & Zeilberger, D. (n.d.). _Proof of Conway’s lost cosmological theorem_. Retrieved [https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/horton.pdf](https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/horton.pdf)
Lairez, P., & Storozhenko, A. (2025). Conway’s cosmological theorem and automata theory. _The American Mathematical Monthly_, _132_(9), 867–882. [https://doi.org/10.1080/00029890.2025.2549225](https://doi.org/10.1080/00029890.2025.2549225)
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