cours/formule conséquence d'un ensemble de formules.md

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calcul propositionnel	s/maths/logique	conséquence ⊢*

[!definition] formule conséquence d'un ensemble de formules Soit \mathscr{A} un ensembles de formules et G une formule du calcul propositionnel G est conséquence de \mathscr{A} si et seulement si toute distribution de valeurs de vérité qui satisfait \mathscr{A} ^definition

Propriétés

[!proposition]+ \mathscr{A} \vdash^{*} G \iff \mathscr{A} \cup \{ \neg G \} est ensemble de formules contradictoire

[!démonstration]- Démonstration

• \boxed{\implies} supposons que \mathscr{A} \vdash^{*} G Soit \delta une valuation qui ensemble de formules satisfait \mathscr{A}, i.e. \forall F \in \mathscr{A},\quad \delta(F) = 1 Puisque l'on a supposé \mathscr{A} \vdash^{*} G sait que \delta(G)=1, et donc que \delta(\neg G) = 0, ce qui montre bien qu'aucune valuation satisfaisant \mathscr{A} ne peut satisfaire aussi \neg G, et donc que \mathscr{A} \cup \{ \neg G \} est contradictoire
• \boxed{\impliedby} supposons que \mathscr{A} \cup \{ \neg G \} est contradictoire Alors, on sait que pour toute valuation \delta on a \exists F \in \mathscr{A} \cup \{ \neg G \},\quad \delta (F) = 0

Exemples