cours/sous-groupes de Z muni de +.md

alias

alias
sous-groupes de (ℤ, +) sous-groupe de (ℤ, +)

up:: anneau Z, sous groupe title:: "(n\mathbb{Z}, +) avec $n \in \mathbb{Z}$" #s/maths/algèbre #s/maths/arithmétique

---

[!definition] sous-groupes de (\mathbb{Z}, +) Les sous groupe de (\mathbb{Z}, +) sont les sous-ensembles n\mathbb{Z} avec n \in \mathbb{Z} (Par définition, n\mathbb{Z} = \{ nk \mid k \in \mathbb{Z} \}). Tout sous-groupe non nul de (\mathbb{Z}, k) est l'ensemble de multiples de son plus petit élément strictement positif ^definition

Propriétés

Tout sous-groupe G non nul de (\mathbb{Z}, k) est m\mathbb{Z} où m = \min \{ k \in G \mid k > 0 \}

[!note] Formellement Soit G un sous groupe non nul de (\mathbb{Z},+) Soit m le plus petit élément strictement positif de G

• on sait que m existe car \mathbb{Z} est non-nul et est un groupe (donc \forall k \in G, \quad -k \in G)

Alors, on sait que \boxed{G = m\mathbb{Z}}

(La propriété s'étend pour 0\mathbb{Z} = \{ 0 \})

démonstration forme des sous groupes de Z

Ordre des éléments

Pour tout g \in G, l'application \varphi _{G} : \mathbb{Z} \to G \begin{align} \varphi _{G} : & \mathbb{Z} \to G \\ \end{align}