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Preuve de \tan(a+b) = \dfrac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}

$$\begin{align} \tan(a+b) &= \dfrac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}\ &= \dfrac{\sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)}\ &= \dfrac{\sin(a)\cos(b)+\sin{b}\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)\left(1-\dfrac{\sin(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b)}\right)}\ &= \dfrac{\dfrac{\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}}{1-\tan(a)\tan(b)}\ &= \dfrac{\dfrac{\sin(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}+\dfrac{\sin(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}}{1-\tan(a)\tan(b)}\ &= \dfrac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)} \end{align}$$

On utilise les formules de trigonométrie#Formules de somme pour le \sin et le \cos.