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# Définition des graphes
- $\underline{n} := [\![1; n]\!] = \{ 1, 2, \dots, n \}$ pour $n \in \mathbb{N}^{*}$
- $X :=\begin{pmatrix}\underline{n}\\ 2\end{pmatrix} = \mathscr{P}_{2}(\underline{n})$ les parties de $\underline{n}$ à 2 éléments
- $\mathcal{G}_{n} := \{ 0, 1 \}^{X}$ ensemble des graphes étiquettés à $n$ sommets (fonctions de $X \to \{ 0, 1 \}$)
    - $\Gamma \in \mathcal{G}_{n}$ un graphe
        - $E := \{ e \in X \mid \Gamma(e) = 1 \}$ l'ensemble des arrêtes de $\Gamma$
- $S_{n} \backslash \backslash \mathcal{G}_{n} = \mathfrak{S}_{n} \backslash \backslash \mathcal{G}_{n}$ l'ensemble des graphes simples à $n$ sommets (non-étiquettés, donc stables par permutation des sommet : les classes d'équivalences de $\mathcal{G}_{n}$ par isomorphisme)
## Graphes particuliers
### Graphes réguliers
- $\mathcal{R}_{n, k} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) = k \}$ ensemble des graphes $k$-réguliers à $n$ sommets
- $S_{n} \backslash \backslash \mathcal{R}_{n, k} = \mathfrak{S}_{n} \backslash \backslash \mathcal{R}_{n, k}$ l'ensemble des graphes simples $k$-réguliers à $n$ sommets (non-étiquettés)
    - c'est l'ensemble des classes d'équivalences par isomorphisme de graphes
### Graphes connectés
- graphe connecté (connected) : si toute paire de sommets est connectée par une chaîne
- les "composants connexes" sont les classes d'équivalence par la relation "sont reliés par une chaîne"
- un sommet de degré $0$ est un "composant trivial" (trivial component)
- $\mathcal{G}_{n}^{*}$ l'ensemble des graphes 
- $\mathcal{R}_{n, k}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{R}_{n, k} \mid \Gamma \text{ est connecté} \}$ l'ensemble des graphes étiquettés $k$-réguliers connectés
### Autres
pour $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $k, t \in \mathbb{N}$ avec $k < n$ et $t \geq 3$, on définit :
- $\mathcal{G}_{n, k} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) \leq k \}$
- $\mathcal{G}_{n, k}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n}^{*} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) \leq k \}$
- $\mathcal{R}_{n, k, t} := \{ \Gamma \in \mathcal{R_{n, k}} \mid \operatorname{girth}(\Gamma) \geq t \}$
- $\mathcal{R}_{n, k, t}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{R}_{n, k}^{*} \mid \operatorname{girth}(\Gamma) \geq t \}$
Chacune des propriétés définissant ces ensembles est invariante par isomorphisme.
# Propriétés des graphes
- $\displaystyle \operatorname{deg}(i) = \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) := \sum\limits_{\substack{j \in \underline{n}\\ j \neq i}} \Gamma(\{ i, j \})$ le degré d'un sommet $i \in \underline{n}$
## Chaînes et distances
### Chaînes
- Une famille d'éléments de $E$ est une chaîne (trail)
- Une famille déléments de $E$ sans répétition est une chaîne simple (path)
- $W = (v_1, v_2, \dots, v_{q-1}, w)$ est la notation pour la chaîne de $v$ vers $w$ qui passe par les arrêtes $(\{ v_1, v_2 \}, \{ v_2, v_3 \}, \dots, \{ v_{q-1}, w \})$
        - $l(W) = q$ la longueur d'une chaîne (son nombre d'arrêtes)
### Cycles
- si les extrémités $v$ et $w$ d'une chaîne sont connectées par l'arrête $e = \{ v, w \}$, alors $K := W \cup \{ e \}$ est un cycle
    - $l(K) := q+1$ sa longueur (son nombre de sommets)
- Si $\Gamma$ n'a pas de cycle plus petit que $K$, alors $K$ est une maille de $\Gamma$ (*girth*)
- $\operatorname{girth}(\Gamma) := \min \{ l(K) \mid K \text{ un cycle dans } \Gamma \}$ la maille (*girth*) de $\Gamma$ (la taille de son plus petit cycle)
    - si $\Gamma$ ne contient aucun cycle : $\operatorname{girth}(\Gamma) := \infty$ 
#### Arbres
- un graphe étiquetté connecté sans cycles est appelé un arbre (*tree*)
- les sommets de degré 1 sont appelés "feuilles" (*leaves*)
- les sommets de degré $> 1$ sont appelés "sommets intérieurs" (*inner nodes*)
- la racine (*root*) d'un arbre est un sommet intérieur particulier que l'on choisit
- Un arbre enraciné (*rooted tree*) est un arbre pour lequel on a fixé une racine
- Soit $\Gamma \in \mathcal{G}_{n}^{*}$ un arbre enraciné de racine $1$, soit $v_0$ un sommet tel que $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v_0, 1) = d$
    - si $0 < d < \infty$, alors il existe exactement un voisin $v$ de $v_0$ tel que $\operatorname{dist}(v, 1) = d -1$. Ce sommet $v$ est appelé "parent" de $v_0$
    - tous les autres voisins $w$ de $v_0$ sont tels que $\operatorname{dist}_{\Gamma}(w, 1) = d+1$, et ils sont appelés "enfants" de $v_0$
    - $\operatorname{succ}_{1}(v_0) := \{ w \in X \mid \operatorname{dist}_{\Gamma}(w, 1) = \operatorname{dist}_{\Gamma}(v_0, 1) + 1 \}$ l'ensemble des enfants de $v_0$
    - $\displaystyle\operatorname{succ}_{i+1}(v_0) := \bigcup _{u \in \operatorname{succ}_{i}(v_0)} \operatorname{succ}_{1}(v_0)$
    - $\operatorname{succ}(v_0) = \bigcup _{i=1}^{n} \operatorname{succ}_{i}(v_0)$ l'ensemble des successeurs de $v_0$
    - 
### Distances
- $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, w) := \min \{ l(W) \mid W \text{ une chaîne simple de } v \text{ vers } w \}$ la distance entre deux sommets
        - si aucune chaîne simple n'existe : $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, w) = +\infty$
        - $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, v) = 0$
- $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, \{ u, u' \}):= \min \{ \operatorname{dist}_{\Gamma}(v, u), \operatorname{dist}_{\Gamma}(v, u') \}$ distance entre le sommet $v$ et l'arrête $\{ u, u' \} \in E$