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up:
  - "[[fonction récursive primitive]]"
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  - s/maths/logique
  - s/informatique
aliases:
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> [!definition] [[fonction d'ackermann de cori et lascar]]
> [[fonction d'Ackermann]] modifiée pour la simplicité des preuves.
> On la note $\xi$, et on la définit comme suit :
>  - $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi(0, x) = 2^{x}$
>  - $\forall y,\quad \xi(y, 0) = 1$
>  - $\forall x, y \in \mathbb{N},\quad \xi(y+1, x+1) = \xi(y, \xi(y+1, x))$
> 
> On pourra aussi noter :
> $\xi _{n}(x) = \xi(n, x)$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Unicité
> La définition donnée désigne bien une unique fonction.
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On utilise la notation $\xi _{n}$ et la récurrence :
> > $\begin{cases} \xi _{n}(0) = 1\\ \xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \end{cases}$
> > Cela établit clairement que chaque $\xi _{n}$ est bien définie, et donc que $\xi$ est unique.

> [!corollaire]+ Lemme 1 : $\xi _{n}(x)>x$
> Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x) > x$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On utilise deux récurrences emboîtées :
> > Par récurrence sur $n$, on montre que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n}(x)>x$
> >  - **Initialisation** :
> >    Pour $n = 0$ la propriété est évidente : $\xi_0(x) = 2^{x} > x$
> >  - **Récurrence :**
> >    Fixons $n>0$ et supposons que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi_{n-1}(x)>x$
> >    On veut alors montrer que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n}(x)>x$
> >    Pour cela, on fait une récurrence sur $x$ :
> >      - **Initialisation** sur $x$ :
> >        La propriété est claire pour $x=0$, puisque $\xi _{n}(0) = 1$
> >      - **Récurrence** sur $x$ :
> >        On suppose que $\xi _{n}(x)>x$ et on va montrer que $\xi _{n}(x+1)>x+1$
> >        On sait que $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x))$
> >        Par nos suppositions, on sait que $\xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) > \xi _{n}(x)$ (puisque $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n-1}(x)>x$).
> >        On peut donc affirmer que $\xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)+1$ (on ajoute $1$ artificiellement)
> >        Encore par suppositions, on a que $\xi _{n}(x)>x$
> >        Ainsi on obtient : 
> >        $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)+1 > x+1$
> >        Ce qui montre bien la relation de récurrence
> >    

> [!corollaire] Lemme 2 : $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
> Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On procède par récurrence sur $n$ :
> >  - 

# Exemples