#s/maths/logique

> [!definition] Définition
> Une théorie est un ensemble d'énoncés
^definition

# Propriétés

## Cohérence
> [!proposition]+ Cohérence
> une théorie est cohérente     
> 
> > [!corollaire] Lemme
> > Une théorie $T$ est cohérente s'il n'existe pas d'énoncé $f$ tel que $T \vdash f$ et $T \vdash \neg f$
> > 

> [!proposition]+ Finitude
> Si $T \vdash f$
> il existe une partie finie $T_{0}$ de $T$ telle que $T_{0} \vdash f$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > regarder une démonstration de $T \vdash f$
> > $T_0 = \{ \text{axiomes de } T \text{ qui apparaissent} \}$
> > C'est une preuve de $T_0 \vdash f$
> 
> > [!corollaire]
> > Une théorie $T$ est cohérente si et seulement si toute partie finie de $T$ est cohérente
> 
> > [!corollaire] 
> > Si $(T_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite croissante ($T_0 \subseteq T_1 \subseteq T_2 \subseteq \cdots$) de théories **cohérentes**
> > Alors $\displaystyle T = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} T_{n}$ est cohérente
> > 
> > > [!démonstration]- Démonstration
> > > Soit $F \subseteq T$ une partie finie de $T$
> > > On se demande si $F$ est cohérente
> > > $f \in F \leadsto n_{f} \in \mathbb{N} \text{ tq } f \in T_{n_{f}}$
> > > $\displaystyle n = \min_{f \in F}(n_{f})$
> > > $F \subseteq T_{n}$ cohérente par hypothèses 
> > > Donc $F$ est cohérente
>  
> > [!corollaire] 
> > Soit $(T_{i})_{i \in I}$ une **[[famille filtrante]]** de théories **cohérentes**
> > Alors $\displaystyle \bigcup _{i \in I} T_{i}$ est cohérente
> 
> > [!corollaire] 
> > Si $T$ est une théorie cohérente
> > Il existe une théorie cohérente $T'$ telle que $T \subseteq T'$ et qui est maximale (parmi les théories cohérentes contenant $T$) :
> > $\begin{cases} T \subseteq T' \\ T' \text{ est cohérente} \\ \text{si } f \not\subset T',\quad T' \cup \{  f  \} \text{ n'est pas cohérente} \end{cases}$
> > 
> > > [!démonstration]- Démonstration
> > > Application du [[lemme de Zorn]] :
> > > $\mathscr{C} = \{ \text{théories cohérentes} \}$ est inductif
> > > toute famille filtrante d'éléments de $\mathscr{C}$ est donc majorée

> [!proposition]+ Théorème de déduction
> Soit $f$ un énoncé, soit $T$ une théorie
> On a équivalence entre :
>  - $T \cup \{ f \} \vdash g$
>  - $T \vdash f \to g$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $(g_1, \dots, g_{n})$ une démonstration formelle de $T \cup \{ f \} \vdash g$
> > On obtient une démonstration formelle de $T \vdash f \to g$ en partant de la suite $(f \to g_1, \dots, f\to g_{n})$ et en insérant des formules supplémentaires :
> > $T \vdash f \to g_1 \qquad T \cup \{ f \}$
> > $\vdots$
> > $T \vdash f \to g_{n-1}$



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Tout cadre de raisonnement spécifique construit sur un langage donné.

Dans une approche syntaxique, une théorique logique, aussi appelée alors _théorie axiomatique_, est définie par un ensemble d'[[axiome|axiomes]] et de [[règle d'inférence|règles d'inférence]].
Dans une approche sémantique, elle est donnée par une interprétation particulière des éléments du langage.

# Exemple
Sur un même langage formel, il est possible de construire des théories logiques différentes. Par exemple, le symbole formel d'addition `+` n'aura pas la même interprétation en arithétique classique où l'on a `1+1 = 2`, et dans le [[calcul booléen]], où l'on a `1+1 = 0`.
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