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# Définition


![[désintégration audioactive#^definition]]



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# Exemples

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## Exemple 1

 + $1 \longrightarrow \text{un } 1$
 + $11 \longrightarrow \text{deux }1$ 
 + $21 \longrightarrow \text{un }2,\quad \text{un }1$ 
 + $1211 \longrightarrow \text{un }1,\quad \text{un }2,\quad \text{deux }2$
 + $\underparen{111\!}\,221 \longrightarrow \text{trois }1,\quad \text{deux }2,\quad \text{un} 1$
 + $312211$
 + $13112221$
 + $1113213211$

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## Exemple 2

$22 \longrightarrow \text{deux} 2$ <!-- element class="fragment" -->

$22$ <!-- element class="fragment" -->

$22$ <!-- element class="fragment" -->

$\vdots$ <!-- element class="fragment" -->


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# Notations

 + $12 \longrightarrow 1112$
 + $,11,12,$ 
 + $[11$ et $12]$
 + $1^{3}2^{1}$
     + $1^{\geq 2}(\neq 1)^{3}$
     + $[1^{3}X^{1 \text{ ou } 2}$

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# Propriétés

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## Première propriété évidente

Pour une étape : $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$

Il est évident que : $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$

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## Théorème du jour 1

Les morceaux de type :
 + $,ax,bx,$ <span class="fragment"> devrait être dérivé en $(a+b)x$ </span>
 + $x^{\geq 4}$ <span class="fragment"> $=\begin{cases}x,xx,x\cdots \\ ,xx,xx, \cdots\end{cases}$  impossible  </span>
 + $x^{3}y^{3}$ <span class="fragment"> $=\begin{cases},xx,xy,yy,  \text{ un cas de } ,ay,by, \\ x,xx,xy,y \text{ un cas de } ,ax,bx,\end{cases}$ </span>

n'apparaîssent plus après 1 jour.

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## Théorème du jour 2

Après 2 jours, on ne peut plus avoir :
 + apparition d'un $\geq 4$ <span class="fragment">car $x^4$ impossible (thm. J1)</span>
 + $3X3$ <span class="fragment"> $=\begin{cases},3X,3y \longleftarrow X^3y^3 {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)} \\ 3,X3, {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)}\end{cases}$ </span>

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## Théorème du début

Le début arrivera toujours sur l'un de ces cycles :
 + $\overparen{[ \;\; ]} \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow \cdots$
 + $\overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow$
 + $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
 + $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$

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### Théorème du début — Exemple

 + $[37]$
 + $[1317]$
 + $[11131117]$
 + $[{\color{#080}311}331 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3}$ pour $X=3$
 + $[{\color{#09b}13}2123 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}$ 
 + $[{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}$
 + $[{\color{#080}311}311 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3}$
 + $[{\color{#09b}13}21 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}$
 + $[{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}$
 + $\vdots$