---
up:
tags:
aliases:
---
- i Los se prononce "Wosh"

> [!proposition]+ Lemme du [[théorème de Los]]
> Soit $\mathscr{F}$ un filtre non trivial sur un ensemble $X$
> Il y à équivalence entre ces 3 propositions :
>  1. $\mathscr{F}$ est un ultrafiltre
>  2. si $A, B\subseteq X$ vérifient $A \cup B \in \mathscr{F}$ alors $A \in \mathscr{F}$ et $B \in \mathscr{F}$
>  3. si $A \subseteq X$ alors $A \in \mathscr{F}$ ou $(X \setminus A) \in \mathscr{F}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > **$1 \implies 2$**
> > Soit $\mathscr{F}$ un [[ultrafiltre]] sur $X$
> > on suppose $A \cup B unn \mathscr{F}$ mais $B \notin \mathscr{F}$
> > Démontrons $A \in \mathscr{F}$ :
> > Soit $\mathscr{F}'$ l'ensemble des parties de $X$ qui contiennent une partie de la forme $A \cap F$ où $F \in \mathscr{F}$
> > $\mathscr{F}'$ est un filtre non trivial qui contient $\mathscr{F}$ (admis)
> > Alors :
> > $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$ ($\mathscr{F}$ est un ultrafiltre)
> > $F = A \cup B \in \mathscr{F}$
> > donc $A \cap F \in \mathscr{F}'$
> > et donc $A \cap F \in \mathscr{F}$

> [!proposition]+ [[théorème de Los]]
> On considère une famille $(M_{i})_{i \in I}$ de structures pour une signature logique donnée
> Soit $\mathcal{U}$ un [[ultrafiltre]] sur $I$
> Pour tout énoncé $\varphi$ (autrement dit, pour toute formule $\varphi(x_1, \dots, x_{n})$) et pour tout $\alpha^{\mathcal{U}} \in \prod\limits_{i \in I}{}^{\mathcal{U}} M_{i}$
> on a équivalence entre les énoncés suivants :
>  4. l'[[ultraproduit]] $\prod\limits_{i \in I}{}^{\mathcal{U}}M_{i}$ satisfait $\varphi$
>      - i.e. : $\prod\limits_{i \in I}{}^{\mathcal{U}} M_{i} \models \varphi$
>  5. l'ensemble des $i \in I$ tels que $M_{i}$ satisfait $\varphi$ ($M_{i} \models \varphi$) appartient à $\mathcal{U}$
>      - $\{ i \in I \mid M_{i} \models \varphi \} \subseteq \mathcal{U}$
>