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aliases:
  - mesure de probabilité à densité
  - densité
  - à densité
up:
  - "[[mesure de probabilité]]"
  - "[[densité de probabilité]]"
tags:
  - s/maths/probabilités
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> [!definition] Définition
> Si $f$ est une [[densité de probabilité]]
> L'application : 
> $\begin{align} \mathbb{P} : \mathcal{B}(\mathbb{R}) &\to [0; 1] \\ A &\mapsto \mathbb{P(A)} = \int_{A} f \, d\lambda \end{align}$
> est une [[mesure de probabilité]]
> On dit alors que $\mathbb{P}$ est une **probabilité à densité $f$**
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $f$ est positive, donc :
> > si $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ alors $\displaystyle 0 \leq \int_{A} f \, d\lambda \leq \int_{\mathbb{R}} f \, d\lambda = 1$
> > Alors on a bien :
> > - $\mathbb{P}$ est positive
> > - $\displaystyle \mathbb{P}(\mathbb{R}) = \int_{\mathbb{R}} f \, d\lambda = 1$
> > 
> > Ensuite, si $(A_{i})_{i \geq 0} \subset \mathcal{B}(\mathbb{R})$ deux à deux disjoints :
> > $\begin{align} \mathbb{P}\left(  \bigcup _{i \geq 0} A_{i} \right) &= \int_{\bigcup\limits_{i \geq 0} A_{i}} f \, d\lambda \\&= \sum\limits_{i \geq 0} \int_{A_{i}} f \, d\lambda \\&= \sum\limits_{i\geq 0} \mathbb{P}(A_{i}) \end{align}$
> > Donc on a bien :
> >  - $\displaystyle \mathbb{P}\left(  \bigcup _{i\geq 0}A_{i} \right) = \sum\limits_{i\geq 0} \mathbb{P}(A_{i})$ si les $A_{i}$ sont des [[tribu borélienne|boréliens]] disjoints
> >    
> > Ainsi, $\mathbb{P}$ respecte bien les 3 propriétés, donc $\mathbb{P}$ est bien une [[mesure de probabilité]].
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Soit $\mathbb{P}$ une probabilité à densité $f$
> 1. $\mathbb{P}([a; b]) = \mathbb{P}(]a; b]) = \mathbb{P}(]a; b[) = \mathbb{P}([a; b[) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$
> 2. .
> 3. si $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ alors $\lambda(A) = 0 \implies \mathbb{P}(A) = 0$

> [!proposition]+ densités égales presques partout
> Soit $f$ une densité de probabilité
> Si $g = f$ $\lambda$-pp alors $g$ est une [[densité de probabilité]] et la probabilité de densité $g$ est la même que celle de densité $f$

> [!proposition]+ 
> Soit $X$ une [[variable aléatoire réelle]] de densité $f$ (et $F_{X}$ sa [[probabilités variable aléatoire fonction de répartition|fonction de répartition]])
> Soit $t_0 \in \mathbb{R}$
> Si $f$ est continue en $t_0$,
> Alors $F_{X}$ est dérivable en $t_0$ et $F_{X}'(t_0) = f(t_0)$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $t_0 \in \mathbb{R}$ tel que $f$ est continue en $t_0$
> > Soit $h>0$
> > $\begin{align} \left| \frac{F_{X}(t_0+h) - F_{X}(t_0)}{h} - f(t_0) \right| &= \left| \frac{1}{h} \int_{t_0}^{t_0+h} f(x) \, dx - \frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h}f(t_0) \, dx \right| \\&\leq \frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h} \left| f(x)-f(t_0) \right| \, dx \end{align}$
> > or $f$ est continue en $t_0$
> > donc pour $\varepsilon>0$ fixé, il existe $\delta>0$ tel que :
> > $|x-t_0| \leq \delta \implies |f(x) - f(t_0)| \leq \varepsilon$
> > 
> > Alors pour $0 <h \leq \delta$ on obtient :
> > $\displaystyle \left| \frac{F_{X}(t_0+h) - F_{X}(t_0)}{h} - f(t_0) \right| \leq \frac{1}{h} \int_{t_0}^{t_0+h} \varepsilon \, dx = \varepsilon$
> > d'où suit que :
> > $\lim\limits_{\substack{h \to 0\\h > 0}} \dfrac{F_{X}(t_0+h) F_{X}(t_0)}{h} = f(t_0)$
> > On obtient la limite à gauche de la même manière.

# Exemples

$f(x) = C e^{ -2x } \mathbb{1}_{[0; +\infty[}(x)$ avec $C \geq 0$
$f$ est positive
in veut $\int_{\mathbb{R}}f \, d\lambda = 1$
i.e. $C \int_0^{+\infty} e^{ -2x } \, dx = 1$
i.e. $\displaystyle C \cdot \left[ \frac{-e^{ -2x }}{2} \right]_{0}^{+\infty} = 1$
i.e. $C \frac{1}{2} = 1$
i.e. $C = 2$
d'où $f(x) = 2e^{ -2x } \mathbb{1}_{[0; +\infty[}(x)$

```desmos-graph
grid=false;
left=-1; right=3;
top=3; bottom=-1;
width=300;height=300;
---
y=2e^{-2x}\{x>=0\} | red
y=0 \{x<0\} | red
(0, 2) | red
0<y<2e^{-2x}\{x>=0\} | red
```