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aliases:
  - support
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up::[[permutation]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] [[support d'une permutation]]
> Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ une permutation
> Le **support** de $\sigma$ est défini par :
> $\mathrm{supp}(\sigma) := \{ i \in [\![1; n ]\!] \mid \sigma(i) \neq i \}$
^definition

> [!idea] Intuition
> Le support d'une permutation est l'ensemble des éléments qui **ne sont pas [[invariant par une permutation|invariants]] par $\sigma$**
> 
> C'est donc le [[complémentaire d'un ensemble|complémentaire]] dans $\mathfrak{S}_{n}$ de l'ensemble des [[invariant par une permutation|invariants par]] $\sigma$.

# Propriétés

$\text{Supp}(\sigma) = \text{Supp}(\sigma^{-1})$

$\text{Supp}(\mathrm{id})=\emptyset$ car la permutation identité n'a que des points fixes

> [!proposition]+ stabilité du support
> Le support d'une permutation $\sigma$ est stable par $\sigma$ :
> $\forall i \in \mathrm{supp}(\sigma),\quad \sigma(i) \in \mathrm{supp}(\sigma)$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $i \in  \mathrm{supp}(\sigma)$
> > Si $\sigma(i) \notin \mathrm{supp}(\sigma)$, alors on doit avoir $\sigma(\sigma(i)) = \sigma(i)$, mais en appliquant $\sigma ^{-1}$ on trouve $\sigma(i) = i$, ce qui est impossible
> > Donc, $\sigma(\sigma(i)) \neq \sigma(i)$, et donc $\sigma(i) \in \mathrm{supp}(\sigma)$

> [!proposition]+ Commutativité et support
> Deux permutations à support disjoints commutent :
> Soient $\sigma, \rho \in \mathfrak{S}_{n}$
> $\mathrm{supp}(\sigma) \cap \mathrm{supp}(\rho) = \emptyset \implies \sigma \circ \rho = \rho \circ \sigma$
> - ! deux permutations peuvent commuter sans avoir des supports disjoints (ex : $\sigma$ et $\sigma$)
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soient $\sigma, \rho \in \mathfrak{S}_{n}$ tels que $\mathrm{supp}(\sigma) \cap \mathrm{supp}(\rho) = \emptyset$
> > Si $E := \{ 1,\dots, n \} \setminus (\mathrm{supp}(\sigma) \sqcup \mathrm{supp}(\rho))$
> > alors $\{ 1,\dots, n \} = (\mathrm{supp}(\sigma) \sqcup \mathrm{supp}(\rho)) \sqcup E$
> > Soit $i \in \{ 1,\dots, n \}$
> > - Si $i \in E$, alors $i \notin \mathrm{supp}(\sigma)$ et $i \notin \mathrm{supp}(\rho)$
> > donc $\sigma \rho(i) = \sigma(\rho(i)) = \sigma(i) = i$ et $\rho \sigma (i) = \rho(\sigma(i)) = \rho(i) = i$ 
> > ainsi on a : $\sigma \rho(i) = \rho \sigma(i)$
> > - Si $i \in \mathrm{supp}(\sigma)$
> > On a $\sigma \rho(i) = \sigma(\rho(i)) = \sigma(i)$, en effet $i \notin \mathrm{supp}(\rho)$ donc $\rho(i) = i$
> > On a aussi $\rho \sigma(i) = \rho (\sigma(i)) = \sigma(i)$ car $\sigma(i) \in \mathrm{supp}(\sigma)$ donc $\sigma(i) \notin \mathrm{supp}(\rho)$
> > ainsi on a : $\sigma \rho = \rho \sigma$
> > - Si $i \in \mathrm{supp}(\rho)$ alors on a directement $\rho \sigma(i) = \sigma \rho(i)$ par symétrie
> > - Finalement, dans tous les cas, $\sigma \rho = \rho \sigma$, donc $\rho$ et $\sigma$ commutent bien.