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sr-due: 2022-10-28
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  - continue
  - fonction continue
up: "[[fonction]]"
tags: "#s/maths/analyse"
---

> [!definition] [[application continue]]
> Soient $(X, d_{x})$ et $(Y, d_{y})$ deux [[espace métrique|espaces métriques]]
> Soit $f: X \to Y$ une [[application]]
> Soit $a \in X$
> On dit que $f$ est **continue en $a$** si :
> $\exists \varepsilon>0,\quad \exists \eta>0,\quad \forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{y}(f(x), f(a)) < \varepsilon$
^definition

- i On note $\mathcal{C}(E, F)$ l'[[ensemble des fonctions continues]] de $E \to F$

> [!definition] Fonction continue dans $\mathbb{R}$
> Soit $I \subset \mathbb{R}$
> Soit $f: I \to R$
> Soit $a \in I$
>  - $f$ est **continue en $a$** ssi :
>      - $\forall \varepsilon>0, \exists\eta > 0, \forall x\in I, (|x-a| < \eta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon)$
>  - $f$ est **continue sur $I$** ssi :
>      - $\forall x \in I, \forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall y \in I, |x-y| \leq \eta \implies |f(x)-f(y)| \leq \varepsilon$
>
>  - I $f$ est continue en $a$ si la [[limite]] de $f$ en $a$ est égale à $f(a)$
^e9fb87

```breadcrumbs
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```

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Soient $(X, d_{x})$ et $(Y, d_{y})$ deux [[espace métrique|espaces métriques]]
> Soit $f: X \to Y$ une [[application]]
> Soit $a \in X$
> On a équivalence entre :
> - $f$ continue en $a$
> - $\forall (x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}}$ suite convergente vers $a$, $\lim\limits_{ n \to \infty } f(x_{n}) = f(a)$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - supposons $f$ continue en $a$
> > Soit $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $X$ qui converge vers $a$
> > On veut montrer que $\lim\limits_{ n \to \infty } f(x_{n}) = f(a)$, donc que :
> > $\forall \varepsilon>0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad d_{y}(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon$
> > On sait que $f$ est continue en $a$, donc qu'il existe $\eta >0$ tel que :
> > $\forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{y}(f(x), f(a)) < \varepsilon \quad (1)$
> > mais on sait aussi que $x_{n}\to a$
> > En appliquant la propriété (1) à $x = x_{n}$, on sait qu'il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N,\quad d_{x}(x_{n}, a) < \eta$
> > Donc $\forall n \geq N,\quad d_{y}(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon$ 
> > $\varepsilon$ étant quelconque, on a montré que $\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad d(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon$
> > c'est-à-dire $f(x_{n}) \xrightarrow{n \to \infty} f(a)$
> > 
> > - Pour montrer la réciproque, on va travailler par contraposée. On cherche alors à montrer :
> > $f$ n'est pas continue en $a$ $\implies$ il existe une suite $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ qui converge vers $a$ mais telle que $f(x_{n}) \centernot{\xrightarrow{n \to \infty}} f(a)$
> > $f$ n'est pas continue en $a \iff \exists \varepsilon>0,\quad \forall \eta>0,\quad \exists x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \wedge d_{y}(f(x), f(a)) \geq \varepsilon$
> > Pour un tel $\varepsilon>0$, prenons :
> >     - $\eta = \frac{1}{n+1} \mid_{n \in \mathbb{N}}$ 
> >     - $x_{n} \in X$ tel que $\begin{cases} d_{x}(x_{n}, a) < \frac{1}{n+1} \\ d_{y}(f(x_{n}), f(a))\geq \varepsilon \end{cases}$ 
> > On a $d_{x}(x_{n}, a) \xrightarrow{n \to \infty} 0$, donc $x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} a$
> > Mais $f(x_{n}) \centernot{\xrightarrow{n \to \infty}} f(a)$, car sinon il existerait $N\in\mathbb{N}$ tel que $\forall n\geq N,\quad d_{y}(f(x_{n}), f(a))\leq \varepsilon$, ce qui est impossible.
> > 
> > 

> [!proposition]+ 
> On a équivalence entre :
> 1. $f$ est continue
> 2. $\forall V$ [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] de $Y,\quad f^{-1}(V)$ est ouvert dans $X$
> 3. $\forall F$ [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]] de $Y,\quad f^{-1}(F)$ est fermé de $X$
> 
> - ! $f(V)$ n'est pas nécessairement ouvert, et $f(F)$ n'est pas nécessairement fermé
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - 2. $\implies$ 3.
> > Si $F$ est un fermé de $Y$, alors :
> > $Y \setminus F$ est un ouvert de $Y$
> > donc $f^{-1}(Y \setminus F)$ est un ouvert de $X$
> > or, $f^{-1}(F) = X \setminus \underbrace{f^{-1}(Y\setminus F)}_{\text{ouvert}}$
> > donc $f^{-1}(F)$ est un fermé de $X$
> > - 3. $\implies$ 2.
> > On procède de la même manière que pour le point précédent
> > - 1. $\implies$ 2.
> > Soit $V$ ouvert de $Y$
> >     - Si $V = \emptyset$, alors $f^{-1}(V) = \emptyset$ est un ouvert de $X$
> >     - Si $V \neq \emptyset$, alors soit $a \in f^{-1}(V)$ quelconque, comme $V$ est ouvert, $\exists \varepsilon>0,\quad B_{y}(f(a), \varepsilon) \subset V$
> > Mais comme $f$ est continue en $a$, il existe $\eta>0$ tel que $\forall x \in X,\quad d(x, a) < \eta \implies d(f(x), f(a)) < \varepsilon$, c'est-à-dire :
> > $\exists \eta>0,\quad \forall x \in X,\quad x \in B_{X}(a, \eta) \implies f(x) \in B(Y)(f(a), \varepsilon)$
> > autrement dit $\forall x \in B_{X}(a, \eta),\quad f(x) \in B_{Y}(f(a), \varepsilon)$
> > donc $\forall x \in B_{X}(a, \eta),\quad f(x) \in V$
> > et donc $B_{X}(a, \eta) \subset f^{-1}(V)$
> > On a montré que :
> > $\forall a \in f^{-1}(V),\quad \exists \eta >0,\quad B_{X}(a, \eta) \subset f^{-1}(V)$
> > c'est-à-dire que $f^{-1}(V)$ est ouvert.
> > - 2. $\implies$ 1.
> > Soient $a \in X$ et $\varepsilon>0$ quelconques
> > $B_{Y}(f(a), \varepsilon)$ est un ouvert de $Y$
> > $f^{-1}(B_{Y}(f(a), \varepsilon))$ est un ouvert de $X$
> > En particulier, $\exists \eta>0,\quad B_{X}(a, \eta) \subset f^{-1}(B_{Y}(f(a), \varepsilon))$
> > cela signifie que $\forall x \in B_{X}(a, \eta),\quad f(x) \in B_{Y}(f(a), \varepsilon)$
> > soit que $\forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{Y}(f(x), f(a)) < \varepsilon$
> > Comme $\varepsilon$ et $a$ sont quelconques, on a montré que $f$ est continue.
> 
> > [!corollaire] Corollaire 
> > Si $f: X \to Y$ et $g: Y \to Z$ sont deux applications continues, alors $g \circ f$ est continue.
> > - I si $f$ est continue en $a \in X$ et $g$ est continue en $f(a)$, alors $(g \circ f)$ est continue en $a$
> >
> > > [!démonstration]- Démonstration
> > > En effet, pour n'importe quel ouvert $V$ de $Z$
> > > $g^{-1}(V)$ est un ouvert de $Y$ car $g$ est continue
> > > $(g \circ f)^{-1}(V) = f^{-1}(g^{-1}(V))$  est un ouvert de $X$ car $f$ est continue
> > > Donc, pour n'importe quel ouvert $V$ de $Z$ :
> > > $(g \circ f)^{-1}(V)$ est ouvert, c'est-à-dire que $g \circ f$ est continue
> 

> [!proposition]+ Toute fonction continue est mesurable
> Soient $(E, \mathcal{A})$ et $(F, \mathcal{B})$ deux [[espace mesurable|espaces mesurables]]
> Toute fonction continue de $E \to F$ est mesurable

> [!proposition]+ Continuité et distance produit
> Soient $(X, d)$, $(Y_1, \delta_1)$ et $(Y_2, \delta_2)$ des [[espace métrique|espaces métriques]]
> Soit $D$ la [[distance produit]] sur $Y_1 \times Y_2$
> Soit $f = (f_1, f_2) : (X, d) \to (Y_1 \times Y_2, D)$ une application
> Soit $x \in X$
> $f$ est continue en $x$ $\iff$ $f_1$ et $f_2$ sont continues en $X$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $(x_{n})$ un suite de $X$ avec $\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = x$
> > On a $f(x_{n}) = (f_1(x_{n}), f_2(x_{n}))$ 
> > Ainsi $D(f(x_{n}), f(x)) = D((f_1(x_{n}), f_2(x_{n})), (f_1(x), f_2(x))) = \max(d_1(f_1(x_{n}), f_1(x)), d_2(f_2(x_{n}), f_2(x)))$
> > Ainsi 

> [!proposition]+ 
> Soit $u : [a, b] \to F$ une fonction continue
> Alors $\displaystyle\left\|\int_{a}^{b} u(t) \, dt\right\| \leq \int_{a}^{b} \|u(t)\| \, dt$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $u$ est continue donc son intégrale est al limite des sommes de riemann
> > $\displaystyle \int_{a}^{b} u(t) \, dt = \lim\limits_{ n \to \infty } \left( \frac{b-a}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} u\left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right)$
> > par l'inégalité triangulaire, on a :
> > $\displaystyle \left\| \frac{b-a}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} u\left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right\| \leq \frac{b-a}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \left\|u\left( a+k \frac{b-a}{n} \right)\right\|$
> > La norme étant continue, on obtient en passant à la limite $n \to \infty$ :
> > $\displaystyle \left\|\int_{a}^{b} u(t) \, dt\right\| \leq \int_{a}^{b} \|u(t)\| \, dt$

## Sur les applications linéaires
[[application linéaire continue]]


# Exemples