---
aliases:
  - sous-groupes de (ℝ, +)
---
up:: [[sous groupe]], [[ensemble des réels|nombres réels]]
#s/maths/algèbre #s/maths/topologie 

> [!definition] [[sous-groupes de R pour l'addition|sous-groupes de (ℝ, +)]]
> Les [[sous groupe|sous-groupes]] $H$ de $\mathbb{R}$ sont :
> - $H = a\mathbb{Z}$ avec $a \in \mathbb{R}^{+}$
> - $H$ dense dans $\mathbb{R}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > si $H = \{ 0 \} = 0\mathbb{Z}$, on a bien un [[sous groupe]]
> > si $H$ contient des éléments $\neq 0$ et si $a \in H \setminus \{ 0 \}$, alors $-a \in H$ et soit $a>0$, soit $-a>0$, donc $H \cap \mathbb{R}^{+*} \neq \emptyset$.
> > Soit $a = \inf \left( H \cap \mathbb{R}^{+*} \right)$ 
> > Distinguons deux cas :
> > - $a > 0$
> > On veut voir que $a \in H \cap \mathbb{R}^{+*}$ et que $H = a\mathbb{Z}$
> >     - Inclusion $a\mathbb{Z} \subset H$
> > Supposons par l'absurde que $a \notin H \cap \mathbb{R}^{+*}$
> > Alors, il existe une suite $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $H \cap \mathbb{R}^{+*}$ telle que $a_{n} \xrightarrow{n \to \infty} a$.
> > Soit $\varepsilon = \frac{a}{2}$, comme $a_{n} \to a$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N,\quad |a_{n}-a| < \frac{a}{2}$
> > Comme la suite $(a_{n})$ n'est pas stationnaire (car $a = \lim\limits_{  n \to \infty } a_{n} \notin H$), on sait qu'il existe $n_1, n_2 \geq N$ tels que $a_{n_1} \neq a_{n_2}$
> > On a $a_{n_1}-a_{n_2} > 0$ et $|a_{n_1}-a_{n_2}| \leq \underbrace{|a_{n_1} -a |}_{< \frac{a}{2}}  + \underbrace{|a-a_{n_2}|}_{<\frac{a}{2}}$
> > Donc, $\displaystyle 0 < \underbracket{a_{n_1}}_{\in H} - \underbracket{a_{n_2}}_{\in H} < \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$
> > $a_{n_1} - a_{n_2} \in H \cap \mathbb{R}^{+*}$ mais $a_{n_1} - a_{n_2} < a$
> > On a une contradiction, d'où $a \in H \cap \mathbb{R}^{+*}$, et donc $a\mathbb{Z} \subset H$.
> >     - Inclusion $H \subset a\mathbb{Z}$.
> > Soit $h \in H$. Supposons $h \notin a\mathbb{Z}$.
> > Soit $n = \left\lfloor \frac{h}{n} \right\rfloor$ de sorte que $n \leq \frac{h}{a} \leq n+1$
> > on a $na \leq h \leq (n+1)a$, et donc $0 \leq h - na < a$
> > $h -na \in H$ car $h \in H$ et $na \in H$
> > Et si $n -na \neq 0$, on aurait $0 < h-na < a = inf(H \cap \mathbb{R}^{+*})$
> > ce qui est absurde.
> > D'où $h = na \in a\mathbb{Z}$, et donc $H \subset a\mathbb{Z}$
> > 
> > - $a = 0$
> > On veut voir que $H$ est [[partie dense d'un espace métrique|dense]] dans $\mathbb{R}$.
> > Fixons $x \in \mathbb{R}$ et $r > 0$.
> > Il existe une suite $(h_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $H \cap \mathbb{R}^{+*}$ tels que $h_{n} \to 0$
> > En particulier, $\exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad 0 < h_{n} < r$
> > Posons $k = \left\lfloor \dfrac{x}{h_{n}} \right\rfloor$ de sorte que $k \leq \dfrac{x}{h_{n}} < k+1$
> > Donc $k \cdot h_{n} \leq x < (k+1)\cdot h_{n}$
> > Comme $h_{n} \in H$, on sait que $k\cdot h_{n} \in H$
> > et $|x - kh_{n} | < |(h+1)h_{n} - kh_{n}| = h_{n} < r$
> > donc $kh_{n} \in H \cap B_{\mathbb{R}}(x, r)$
> > ce qui montre que $H \cap B_{\mathbb{R}}(x, r) \neq \{ 0 \}$
> > et donc $H$ est dense dans $\mathbb{R}$
^definition

# Propriétés

# Exemples

- = $\mathbb{Z}$, $5\mathbb{Z}$, $\sqrt{ 2 }\mathbb{Z}$ ou $\pi \mathbb{Z}$ sont des sous-groupes de $(\mathbb{R}, +)$
- = $\mathbb{Z} + \sqrt{ 2 }\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}, +)$, et il est dense dans $\mathbb{R}$