up:: [[mémoire L3 maths]] #s/fac #s/maths/graphes # Définition des graphes - $\underline{n} := [\![1; n]\!] = \{ 1, 2, \dots, n \}$ pour $n \in \mathbb{N}^{*}$ - $X :=\begin{pmatrix}\underline{n}\\ 2\end{pmatrix} = \mathscr{P}_{2}(\underline{n})$ les parties de $\underline{n}$ à 2 éléments - $\mathcal{G}_{n} := \{ 0, 1 \}^{X}$ ensemble des graphes étiquettés à $n$ sommets (fonctions de $X \to \{ 0, 1 \}$) - $\Gamma \in \mathcal{G}_{n}$ un graphe - $E := \{ e \in X \mid \Gamma(e) = 1 \}$ l'ensemble des arrêtes de $\Gamma$ - $S_{n} \backslash \backslash \mathcal{G}_{n} = \mathfrak{S}_{n} \backslash \backslash \mathcal{G}_{n}$ l'ensemble des graphes simples à $n$ sommets (non-étiquettés, donc stables par permutation des sommet : les classes d'équivalences de $\mathcal{G}_{n}$ par isomorphisme) ## Graphes particuliers ### Graphes réguliers - $\mathcal{R}_{n, k} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) = k \}$ ensemble des graphes $k$-réguliers à $n$ sommets - $S_{n} \backslash \backslash \mathcal{R}_{n, k} = \mathfrak{S}_{n} \backslash \backslash \mathcal{R}_{n, k}$ l'ensemble des graphes simples $k$-réguliers à $n$ sommets (non-étiquettés) - c'est l'ensemble des classes d'équivalences par isomorphisme de graphes ### Graphes connectés - graphe connecté (connected) : si toute paire de sommets est connectée par une chaîne - les "composants connexes" sont les classes d'équivalence par la relation "sont reliés par une chaîne" - un sommet de degré $0$ est un "composant trivial" (trivial component) - $\mathcal{G}_{n}^{*}$ l'ensemble des graphes - $\mathcal{R}_{n, k}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{R}_{n, k} \mid \Gamma \text{ est connecté} \}$ l'ensemble des graphes étiquettés $k$-réguliers connectés ### Autres pour $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $k, t \in \mathbb{N}$ avec $k < n$ et $t \geq 3$, on définit : - $\mathcal{G}_{n, k} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) \leq k \}$ - $\mathcal{G}_{n, k}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n}^{*} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) \leq k \}$ - $\mathcal{R}_{n, k, t} := \{ \Gamma \in \mathcal{R_{n, k}} \mid \operatorname{girth}(\Gamma) \geq t \}$ les graphes $k$-réguliers à $n$ sommets et de [[maille d'un graphe|maille]] au moins $t$ - $\mathcal{R}_{n, k, t}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{R}_{n, k}^{*} \mid \operatorname{girth}(\Gamma) \geq t \}$ les grraphes connectés $k$-réguliers à $n$ sommets et de maille au moins $t$ Chacune des propriétés définissant ces ensembles est invariante par isomorphisme. # Propriétés des graphes - $\displaystyle \operatorname{deg}(i) = \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) := \sum\limits_{\substack{j \in \underline{n}\\ j \neq i}} \Gamma(\{ i, j \})$ le degré d'un sommet $i \in \underline{n}$ ## Chaînes et distances ### Chaînes - Une famille d'éléments de $E$ est une chaîne (trail) - Une famille déléments de $E$ sans répétition est une chaîne simple (path) - $W = (v_1, v_2, \dots, v_{q-1}, w)$ est la notation pour la chaîne de $v$ vers $w$ qui passe par les arrêtes $(\{ v_1, v_2 \}, \{ v_2, v_3 \}, \dots, \{ v_{q-1}, w \})$ - $l(W) = q$ la longueur d'une chaîne (son nombre d'arrêtes) ### Cycles - si les extrémités $v$ et $w$ d'une chaîne sont connectées par l'arrête $e = \{ v, w \}$, alors $K := W \cup \{ e \}$ est un cycle - $l(K) := q+1$ sa longueur (son nombre de sommets) - Si $\Gamma$ n'a pas de cycle plus petit que $K$, alors $K$ est une maille de $\Gamma$ (*girth*) - $\operatorname{girth}(\Gamma) := \min \{ l(K) \mid K \text{ un cycle dans } \Gamma \}$ la maille (*girth*) de $\Gamma$ (la taille de son plus petit cycle) - si $\Gamma$ ne contient aucun cycle : $\operatorname{girth}(\Gamma) := \infty$ #### Arbres - un graphe étiquetté connecté sans cycles est appelé un arbre (*tree*) - les sommets de degré 1 sont appelés "feuilles" (*leaves*) - les sommets de degré $> 1$ sont appelés "sommets intérieurs" (*inner nodes*) - la racine (*root*) d'un arbre est un sommet intérieur particulier que l'on choisit - Un arbre enraciné (*rooted tree*) est un arbre pour lequel on a fixé une racine - Soit $\Gamma \in \mathcal{G}_{n}^{*}$ un arbre enraciné de racine $1$, soit $v_0$ un sommet tel que $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v_0, 1) = d$ - si $0 < d < \infty$, alors il existe exactement un voisin $v$ de $v_0$ tel que $\operatorname{dist}(v, 1) = d -1$. Ce sommet $v$ est appelé "parent" de $v_0$ - tous les autres voisins $w$ de $v_0$ sont tels que $\operatorname{dist}_{\Gamma}(w, 1) = d+1$, et ils sont appelés "enfants" de $v_0$ - $\operatorname{succ}_{1}(v_0) := \{ w \in X \mid \operatorname{dist}_{\Gamma}(w, 1) = \operatorname{dist}_{\Gamma}(v_0, 1) + 1 \}$ l'ensemble des enfants de $v_0$ - $\displaystyle\operatorname{succ}_{i+1}(v_0) := \bigcup _{u \in \operatorname{succ}_{i}(v_0)} \operatorname{succ}_{1}(v_0)$ - $\operatorname{succ}(v_0) = \bigcup _{i=1}^{n} \operatorname{succ}_{i}(v_0)$ l'ensemble des successeurs de $v_0$ ##### arbres couvrants - $T_{k, t} \in \mathcal{G}_{f_0(k, t)}$ pour $k \geq 2$, $t \geq 3$ avec $t$ impair tel que $t = 2d +1$ - $T_{k, t}$ est un arbre - a) chaque feuille $v$ à une distance $d$ au nœud 1 : $\mathrm{dist}(v, 1) = d$ - b) chaque nœud interne $w$ est de degré $k$ : $\mathrm{deg}(w) = k$ - $T_{k, t}$ est canonique - $\overline{T}_{n, k, t}$ le graphe à $n \geq f_0(k, t)$ nœuds que l'on obtient à partir de $T_{k, t}$ en ajoutant $n- f_0(k, t)$ nœuds de degré 0 - on montre que pour tout graphe $\Gamma \in \mathrm{rep}(S_{n} \backslash\backslash \mathcal{R}_{n,k,t})$ alors $\overline{T}_{n,k,t} \subset \Gamma$ - et même que $\forall w \in \underline{n}$ il existe un $\pi \in S_{n}$ tel que $w^{\pi} = 1$ et $\overline{T}_{n,k,t} \subset \Gamma^{\pi}$ ### Distances - $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, w) := \min \{ l(W) \mid W \text{ une chaîne simple de } v \text{ vers } w \}$ la distance entre deux sommets - si aucune chaîne simple n'existe : $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, w) = +\infty$ - $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, v) = 0$ - $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, \{ u, u' \}):= \min \{ \operatorname{dist}_{\Gamma}(v, u), \operatorname{dist}_{\Gamma}(v, u') \}$ distance entre le sommet $v$ et l'arrête $\{ u, u' \} \in E$ ## Cages - $f(k, t) := \min \{ n \in \mathbb{N} \mid \mathcal{R}_{n, k, t} \neq \emptyset \}$ - le plus petit nombre de nœuds tels qu'il existe au moins un graphe $k$-régulier de [[maille d'un graphe|maille]] $t$ - $f(2, t) = t$ pour $t \geq 3$ - $f(k, 3) = k+1$ pour $t = 3$ - soit $n_0 = f(k, t)$ alors $S_{n_0} \backslash\backslash \mathcal{R}_{n_0, k, t}(k, t)$ est l'ensemble des $(k, t)$-cages - $(k, t)$-cage : graphe $k$-régulier minimal de [[maille d'un graphe|maille]] $t$ - ici, $f(k, t)$ donne le nombre de nœud minimal nécessaire (par définition) - $f_0$ comme lower bound de $f$ - $f_0(k, t) := \begin{cases} 1 + k \sum\limits_{i=1}^{\frac{t-1}{2}} (k-1)^{i-1},\quad \text{si } t \text{ est impair} \\ 2 \sum\limits_{i=1}^{\frac{t}{2}}(k-1)^{i-1},\quad \text{sinon} \end{cases}$ - Alors : $\boxed{f(k, t) \geq f_0(k, t)}$ - # Critères d'existence des graphes réguliers