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alias: [ "positive" ]
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up:: [[forme quadratique]]
sibling::[[forme quadratique négative]]
title:: "$\varphi(x) \geq 0$"
#s/maths/algèbre 

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> [!definition] forme quadratique positive
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
> Soit $\varphi$ une [[forme quadratique]] sur $E \to \mathbf{K}$
> $\varphi$ est une forme quadratique **positive** ssi 
> $\boxed{\forall x \in E, \quad \varphi(x) \geq 0}$
^definition

> [!definition] définition avec la signature
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
> Soit $\varphi$ une [[forme quadratique]] sur $E \to \mathbf{K}$
> $\varphi$ est **positive** ssi sa signature est de la forme $(\dim E, 0)$


# Propriétés
Soit $\varphi$ une forme quadratique sur $E \to \mathbf{K}$

> [!info]- "strictement" positive ([[forme quadratique définie|définie]])
> On sait qu'il existe toujours un $x$ pour lequel $\varphi(x) = 0$, car $\varphi(\vec 0) = 0$.
> Cependant, si $\vec 0$ est le **seul** vecteur qui annulle $\varphi$ (si $\varphi$ est [[forme quadratique définie|définie]]), c'est une forme de "stricte positivité", puisque les valeurs négatives sont réduites au maximum ($\text{card}\,\ker\varphi$ est minimum)