sibling:: [[infimum]]
#maths/analyse 

> [!definition] supremum
> Soit $A$ un ensemble
> Le suprémum de $A$, noté $\sup(A)$ est le plus petits des majorants de $A$ :
> Autrement dit :
> - $\forall x \in A, \quad x \leq \sup(A)$
> - $\forall \varepsilon>0, \quad \exists x \in A, \quad x > \sup(A) - \varepsilon$
^definition

# Propriétés

> [!proposition] Supremum et maximum
> Si un majorant de $A$ est contenu dans $A$, alors c'est aussi un supremum. Autrement dit : si $A$ admet un maximum, alors $\sup(A) = \max(A)$

> [!proposition] Suprémum et opposé
> Soit $-A = \{ -x \mid x \in A \}$
> $\boxed{\sup(-A) = - \inf(A)}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $a \in -A$, on pose $a =  -x$ (et alors, $x \in A$ par définition).
> > $\begin{align} x \geq \inf(A) &\implies -x \leq -\inf(A) \\&\implies a \leq -\inf(A) \end{align}$ 
> > Donc $-\inf(A)$ est bien un majorant de $-A$.
> > Montrons que $-\inf(A)$ est le plus petit des majorants de $-A$ :
> > Soit $M$ un majorant de $-A$, on veut montrer que $M \geq -\inf(A)$
> > Soit $a \in -A$, alors $M \geq a$
> > Soit $x = -a$ (et donc $x \in A$), on a :
> > $M \geq a \implies M \geq -x \implies -M \leq x$ donc $-M$ est un minorant de $A$
> > Mais le plus grand minorant de $A$ est $\inf(A)$, on a donc :
> > $\begin{align} M \leq \inf(A) \leq x &\implies -M \leq \inf(A) \\&\implies M \geq -\inf(A) \end{align}$
> > Donc $-\inf(A)$ est bien plus petit que tout $M$, c'est donc le plus petit des majorants de $-A$.
> > On a donc bien montré que $-\inf(A) = \sup(-A)$

> [!proposition] Somme de $\sup$
> Soit $A + B = \{ a+b \mid a \in A \wedge b \in B \}$
> $\boxed{\sup(A) + \sup(B) = \sup(A+B)}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $\big[  \forall (a, b) \in A\times B, \quad a \leq \sup(A) \wedge b \leq \sup(B) \big] \implies \big[  \big]$

> [!proposition] Produit de $sup$
> Soient $A, B \subset \mathbb{R}^{+}$ avec $\sup A < +\infty$ et $\sup B < +\infty$
> Soit $A \cdot B = \{ a\cdot b \mid a \in A \wedge b \in B \}$
> $\boxed{\sup(A\cdot B) = \sup(A) \cdot \sup(B)}$
> - ! Attention : la propriété devient fausse avec les nombres négatifs