up:: [[espace métrique compact|compact]]
#maths/topologie 

Application des [[espace métrique compact#^definitions-alternatives|définitions alternatives de la compacité]]

On va démontrer que si $f : X \to \mathbb{R}$ est continue, avec $X$ compact, on a $\inf\limits_{x \in X}f(x)> -\infty$ et aussi $\exists  x_0 \in X,\quad f(x_0) = \inf\limits_{x \in X} f(x)$.
Autrement dit, toute fonction continue à valeurs réelles sur un compact à un [[infimum]] réel (fini) et atteint cet infimum (c'est un minimum).

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Posons, pour tout $y > \inf\limits_{x \in X} f(x)$ :
$F_{y} = f^{-1}(]-\infty; y])$
Comme $f$ est continue, on sait que $F_{y}$ est un [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]] de $X$
et comme $y > \inf\limits_{x \in X} f(x)$ il existe $z \in X$ tel que $f(z) \leq y$
Donc $z \in F_{y}$ et donc $F_{y} \neq \emptyset$

On pose $I = \left] \inf\limits_{x \in X}f(x); +\infty \right[$
Soit $J \subset I$ une partie finie de $I$
$J = \{ y_1, y_2,\dots, y_{n} \}$
Supposons $y_1 < y_2 < \cdots < y_{n}$
Alors on a :
$\begin{align} \bigcap _{j \in J} F_{y_{j}} &= F_{y_1} \cap F_{y_2}\cap \cdots \cap F_{y_{n}} \\&= F_{y_{1}}\end{align}$ 
Car $F_{y_1} \subset F_{y_2}\subset \cdots \subset F_{y_{n}}$ donc $\displaystyle \bigcap _{y \in J} F_{y} = F_{y_1} \neq \emptyset$

Comme $(X, d)$ est compact, le théorème nous dit que $\displaystyle \bigcap _{y \in I} F_{y} \neq \emptyset$
Autrement dit, si $\displaystyle x \in \bigcap _{y \in I} F_{y}$, alors on a $\forall y \in I,\quad x_{0} \in F_{y}$
et donc $\forall y \in I,\quad f(x_0) \leq y$