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aliases: 
up:
  - "[[variable aléatoire réelle]]"
  - "[[fonction intégrable|intégrable]]"
tags:
  - s/maths/probabilités
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> [!proposition]+ [[théorème de transfert]]
> Soit $X$ une [[variable aléatoire réelle]] définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$
> Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une application $\mathcal{B}(\mathbb{R})$-[[fonction mesurable|mesurable]]
> Alors :
> $g \circ X$ est $\mathbb{P}$-[[fonction intégrable|intégrable]] $\iff$ $g$ est $P_{X}$-[[fonction intégrable|intégrable]]
> 
> Et dans ce cas :
> $\displaystyle\int_{\Omega} g \circ X \, d\mathbb{P} = \int_{\mathbb{R}} g \, d\mathbb{P}_{X}$
> 
^theoreme-de-transfert

> [!démonstration]- Démonstration
> 1. Soit $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $g = \mathbb{1}_{A}$
> $\begin{align} \int_{\Omega} g \circ X \, d\mathbb{P} &= \int_{\Omega} \mathbb{1}_{X^{-1}(A)} \, d\mathbb{P} \\&= \mathbb{P}(X^{-1}(A)) \\&= \mathbb{P}_{X}(A) \\&= \int_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_{A} \, d\mathbb{P}_{X} \end{align}$
> 2. Soient $n \geq 1$, $a_1,\dots,a_{n} \geq 0$ et $A_1, \dots, A_{n} \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$
>    Soit $g = \sum\limits_{i = 1}^{n} a_{i} \mathbb{1}_{A_{i}}$ une [[fonction étagée positive]]
>    On a :
>    $\begin{align} \int_{\Omega} g \circ X \, d\mathbb{P} &= \sum\limits_{i=1}^{n} \left( a_{i} \int_{\Omega} \mathbb{1}_{A_{i}} \circ X \, d\mathbb{P}  \right) \\&= \sum\limits_{i=1}^{n} \left( a_{i} \int_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_{A_{i}} \, d\mathbb{P}_{X} \right) & \text{par le 1.} \end{align}$
> 3. Soit $g$ une application [[fonction mesurable|mesurable]] positive
>    Il existe une suite croissante de [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]] $(g_{n})$ telle que $g_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} g$
>    Alors $(g_{n} \circ X)$ est une suite croissante, et  $g_{n} \circ X \xrightarrow{n \to +\infty} g \circ X$
>    Par le [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]] :
>    $\begin{align} \int_{\Omega} g \circ X \, d\mathbb{P}  &= \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{\Omega} g_{n} \circ X \, d\mathbb{P} & \text{ par le thm de CV monotone} \\&= \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{\mathbb{R}} g_{n} \, d\mathbb{P}_{X} & \text{par le 2.} \\&= \int_{\mathbb{R}} g \, d\mathbb{P}_{X} & \text{par le thm de CV monotone} \end{align}$
> 4. Soit $g$ une application [[fonction mesurable|mesurable]] 
>    $g = g^{+} - g^{-}$ ([[partie positive d'une fonction|partie positive]] et [[partie négative d'une fonction|partie négative]])
>    on a que $|g| = g^{+} + g^{-}$
>    donc :
>    $\begin{align} \int_{\Omega} |g \circ X| \, d\mathbb{P} &= \int_{\Omega} g^{+} \circ X \, d\mathbb{P} + \int_{\Omega} g^{-} \circ X \, d\mathbb{P} \\&= \int_{\mathbb{R}} g^{+} \, d\mathbb{P}_{X} + \int_{\Omega} g^{-} \, d\mathbb{P}_{X} & \text{par le 3.} \\&= \int_{\mathbb{R}} |g| \, d\mathbb{P}_{X} \end{align}$
>    d'où suit que $g \circ X$ est $\mathbb{P}$-[[fonction intégrable|intégrable]] $k\iff$ $g$ est $\mathbb{P}_{X}$-intégrable
>    Et on obtient (de la même manière) que :
>    $\begin{align} \int_{\Omega} g \circ X \, d\mathbb{P} &= \int_{\Omega} g^{+} \circ X \, d\mathbb{P} - \int_{\Omega} g^{-} \circ X \, d\mathbb{P} \\&= \int_{\mathbb{R}} g^{+} \, d\mathbb{P}_{X} - \int_{\Omega} g^{-} \, d\mathbb{P}_{X} \\&= \int_{\mathbb{R}} g \, d\mathbb{P}_{X} \end{align}$
>    
> 

> [!corollaire] 
> Soit $X$ est une [[variable aléatoire discrète]] et $D$ l'ensemble de ses atomes
> Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ [[fonction mesurable|mesurable]]
> $\mathbb{E}(g(x)) = \sum\limits_{x \in D} \left( g(x) \mathbb{P}(X=x) \right)$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $\begin{align} \mathbb{E}(g(X)) &= \int_{\Omega} g(X) \, d\mathbb{P} \\&= \int_{\mathbb{R}} g \, d\mathbb{P}_{X} & \text{par le thm de transfert} \end{align}$
> > Or $\mathbb{P}_{X} = \sum\limits_{x \in D} \left( \mathbb{P}(X = x) \delta _{x} \right)$
> > d'où on obtient :
> > $\displaystyle \mathbb{E}(g(X)) = \sum\limits_{x}$
^corollaire-var-discrete

> [!corollaire] 
> Si $X$ est une [[variable aléatoire réelle]] de [[probabilité à densité|densité]] $f$
> Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ [[fonction mesurable|mesurable]]
> Alors :
> Si $g$ est $\mathbb{P}_{X}$-[[fonction intégrable|intégrable]] on a :
> $\displaystyle\mathbb{E}(g(X)) = \int_{\mathbb{R}} g(x)f(x) \, d\lambda(x)$
^corollaire-var-a-densite

# En dimension supérieure

> [!proposition]+ [[théorème de transfert]]
> Soit $X$ un [[vecteur aléatoire]] et $g : \mathbb{R}^{d} \to \mathbb{R}$ mesurable
> Alors :
> $g(X)$ est $\mathbb{P}$ intégrable $\iff$ $g$ est $\mathbb{P}_{X}$ intégrable
> et dans ce cas :
> $\mathbb{E}(g(X)) = \int_{\Omega} g(x) \, d\mathbb{P} = \int_{\mathbb{R}} g(x_1, \dots, x_{d}) \, d\mathbb{P}_{X}(x_1, \dots, x_{d})$
> 
> - dem La démonstration se fait de la même manière qu'en dimension 1