up:: [[groupe]]
author:: [[Arthur Cayley]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] théorème de cayley
> Soit $(G, *)$ un groupe
> Soit $a \in G$
> Les applications $\begin{align} \gamma :& G \to G\\ & b \mapsto a *b \end{align}$ et $\begin{align} \delta :& G \to G \\& b \mapsto b*a \end{align}$
> Sont des [[bijection|bijections]].
^definition

> [!démonstration]- Démonstration
> 1. Montrons que $\gamma$ est [[injection|injective]] :
> Soient $b, b' \in G$ tels que $\gamma(b)=\gamma(b')$
> Alors il existe un $a$ tel que $a*b=a*b'$, donc $\underbrace{a^{-1}*a}_{e_{G}}*b=\underbrace{a^{-1}*a}_{e_{G}}*b'$, donc $b=b'$
> 2. Montrons que $\gamma$ est [[surjection|surjective]] :
> Soit $c \in G$, on cherche $b \in G$ tel que $\gamma(b) = a*b=c$
> l'élément $b := a^{-1}*c$ convient, car $a*b = \underbrace{a*a^{-1}}_{e_{G}}*c = c$
> Donc, $\gamma$ est [[surjection|surjective]]
> 3. Comme $\gamma$ est [[injection|injective]] et [[surjection|surjective]], $\gamma$ est bien une bijection

> [!démonstration]- Autrement
> Soit $(G, *)$ un groupe
> Soit $b \in G$
> Soit $\begin{align} \gamma :& G \to G \\& x \mapsto b*x \end{align}$ et $\begin{align} \delta :& G \to G \\& x \mapsto x * b \end{align}$
> $\gamma$ est une [[bijection]] car on trouve sont inverse : $\gamma ^{-1} : x \mapsto b^{-1} *x$. $G$ est un groupe, donc $b^{-1} \in G$, et par associativité, on a bien $\gamma^{-1} \circ \gamma (x) = b^{-1} *(b*x) = (b^{-1}*b)*x = e_{G}*x=x$, quel que soit $x \in G$
> On procède de la même manière avec $\delta$ dont l'inverse est $\delta ^{-1} : x \mapsto x * b ^{-1}$
> De la même mani

# Propriétés

> [!info] Principe du sudoku
> Le théorème de cayley implique que la table de cayley d'un groupe respectera touours la règle du sudoku : chaque ligne et chaque colonne contient exactement une fois chaque symbole.

# Exemples

> [!example] Exemple sur $(\mathbb{Z}, +)$
> Soit $m \in \mathbb{Z}$,
> L'application $\begin{align} f :& \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \\& n \mapsto m+n \end{align}$
> Est une bijection
^example-Z-plus

> [!example] Exemple sur $(\mathbb{R}^{*}, +)$
> l'application $\begin{align} f :& \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\& x \mapsto \pi x \end{align}$	
> est une [[bijection]]
^example-R-plus

> [!example] Exemple sur $(\mathfrak{S}_{n}, \circ)$
> soit $\rho \in \mathfrak{S}_{n}$
> les applications $\begin{align} f :& \mathfrak{S}_{n} \to \mathfrak{S}_{n} \\& \sigma \mapsto \rho \circ \sigma \end{align}$ et $\begin{align} g :& \mathfrak{S}_{n} \to \mathfrak{S}_{n} \\& \sigma \mapsto \sigma \circ \rho \end{align}$ 
> sont des [[bijection|bijections]]
^example