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aliases:
  - théorème d'Ascoli
  - théorème d'Ascoli-Arzelà
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up::
#s/maths/topologie 

> [!proposition]+ [[théorème d'Ascoli]]
> Si $(X, d)$ est un [[espace métrique compact]]
> Soit $C \subset \mathcal{C}(X, \mathbb{R})$ un ensemble de [[application continue|fonctions continues]] muni de $\|\cdot\|_{\infty}$
> Alors $C$ est [[espace métrique compact|compact]] si et seulement si :
> - $C$ est [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]] et [[partie bornée|borné]]
> - $C$ est [[équicontinue]]