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alias: [ "sous-groupes de (ℤ, +)", "sous-groupe de (ℤ, +)" ]
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up:: [[anneau Z]], [[sous groupe]] 
title:: "$(n\mathbb{Z}, +)$ avec $n \in \mathbb{Z}$"
#s/maths/algèbre #s/maths/arithmétique 

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> [!definition] sous-groupes de $(\mathbb{Z}, +)$
> Les [[sous groupe|sous groupes]] de $(\mathbb{Z}, +)$ sont les sous-ensembles $n\mathbb{Z}$ avec $n \in \mathbb{Z}$  (Par définition, $n\mathbb{Z} = \{ nk \mid k \in \mathbb{Z} \}$).
> Tout sous-groupe non nul de $(\mathbb{Z},  k)$ est l'ensemble de multiples de son plus petit élément strictement positif
^definition

# Propriétés

## Tout sous-groupe $G$ non nul de $(\mathbb{Z}, k)$ est $m\mathbb{Z}$ où $m = \min \{ k \in G \mid k > 0 \}$

> [!note] Formellement
> Soit $G$ un [[sous groupe]] non nul de $(\mathbb{Z},+)$
> Soit $m$ le plus petit élément strictement positif de $G$
>  - on sait que $m$ existe car $\mathbb{Z}$ est non-nul et est un groupe (donc $\forall k \in G, \quad -k \in G$)
> 
> Alors, on sait que $\boxed{G = m\mathbb{Z}}$
> 
> (La propriété s'étend pour $0\mathbb{Z} = \{ 0 \}$)
> 
> [[démonstration forme des sous groupes de Z|démonstration]]

## Ordre des éléments

Pour tout $g \in G$, l'application $\varphi _{G} : \mathbb{Z} \to G$ $\begin{align} \varphi _{G} : & \mathbb{Z} \to G \\  \end{align}$