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aliases: 
up:
  - "[[mesure de probabilité]]"
tags:
  - s/maths/probabilités
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> [!definition] Définition
> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
> Soient $A, B \in \mathcal{A}$ tels que $\mathbb{P}(B) > 0$
> On note :
> $\mathbb{P}(A \mid B) = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$
^definition

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
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field-groups: [downs]
depth: [0, 0]
```
# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Si $B \in \mathcal{A}$ avec $\mathbb{P}(B) > 0$
> L'application
> $\begin{align} \mathbb{P}(\cdot \mid B) : \mathcal{A} &\to [0, 1] \\ A &\mapsto \mathbb{P}(A\mid B) \end{align}$
> est une [[mesure de probabilité]] sur $(\Omega, \mathcal{A})$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > fixons $B \in \mathcal{A}$ avec $\mathbb{P}(B) > 0$
> > 1. $\forall A \in \mathcal{A}$ on a $A \cap B \subset B$ donc $0 \leq \mathbb{P}(A \cap B) \leq \mathbb{P}(B)$
> > et donc $0 \leq \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \leq 1$
> > c'est-à-dire que $0 \leq \mathbb{P}(A \mid B) \leq 1$
> > 2. $\mathbb{P}(\Omega \mid B) = \dfrac{\mathbb{P}(\Omega \cap B)}{\mathbb{P(B)}} = \dfrac{\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(B)} = 1$
> > 3. Soit $(A_{i})_{i \geq 1} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}$ deux à deux disjoints
> > $\begin{align} \mathbb{P}\left( \bigcap _{i \geq 1} A_{i} \middle| B \right) &= \frac{\mathbb{P}\left( \left( \bigcap _{i \geq 1} A_{i} \right) \cap B \right)}{\mathbb{P}(B)} \\&= \frac{\mathbb{P}\left( \bigcup _{i \geq 1} (A_{i} \cap B) \right)}{\mathbb{P}(B)} \\&= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\mathbb{P}(A_{i}\cap B)}{\mathbb{P}(B)} & \text{car les } (A_{i} \cap B)_{i\geq 1} \text{ sont 2 à 2 disjoints} \\&= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \mathbb{P}(A_{i} | B)\end{align}$
> > 

> [!proposition]+ Formule des probabilités totales
> Soit $A \in \mathcal{A}$
> Soit $(B_{i})_{i \in I}$ un [[système complet d'événements]]
> $\begin{align} \mathbb{P}(A) &= \sum\limits_{i \in I} \mathbb{P}(A \cap B_{i}) \\&= \sum\limits_{i \in I} \mathbb{P}(A \mid B_{i}) \mathbb{P}(B_{i}) \end{align}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A \cap \Omega) = \mathbb{P}\left( A \cap \left( \bigcup _{i \in I} B_{i} \right) \right) = \mathbb{P}\left( \bigcup _{i \in I} (A \cap B_{i}) \right) = \sum\limits_{i \in I} \mathbb{P}(A \cap B_{i})$

# Exemples