up::[[axiomatique]]
title::"$P(0) \wedge \forall n, P(n) \implies P(n+1)$"
#s/maths

----
Si un propriété est vraie pour $x_{0}$, et si pour tout $n > x_{0}$ on a $P(n) \implies P(n+1)$, alors on à $\forall n > x_{0}, P(n)$.

> [!définition]
> $\big( P(0) \wedge \forall n \in \mathbb{N}, P(n) \implies P(n+1) \big) \quad \implies \quad \forall n \in \mathbb{N}, P(n)$
^definition

# Propriétés

 - Avec les [[axiomes de Peano]], le principe de récurrence est un _axiome_
 - Avec les [[axiomes Zemerlo Frankel]], c'est un théorème
     - [[ZF démonstration du principe de récurrence]]