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up:
  - "[[polynôme]]"
tags:
  - "#s/maths/analyse"
  - "#s/maths/algèbre"
sibling:
  - "[[polynôme réductible]]"
aliases:
  - irréductible
  - irréductibles
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> [!definition] Définition
> Soit $A$ un [[anneau intègre]]
> Soit $P \in A[X]$ avec $P \neq 0$ un [[polynôme]]
> On dit que $P$ est **irréductible** si 
> - $P$ est non inversible
> - $\forall R, S \in A[X],\quad P = RS \implies \begin{cases} R \text{ inversible}\\ \text{ou}\\ S \text{ inversible} \end{cases}$
^definition

> [!definition] 
> Soit $P$ un [[polynôme]]
> $P$ est _irréductible_ si il n'est ni nul, ni [[polynôme inversible|inversible]], ni produit de deux polynômes non [[polynôme inversible|inversibles]]

# Propriétés

> [!proposition]+ Les polynômes de degré 1 sur un corps sont irréductibles
> Soit $K$ un corps
> Les polynômes de [[degré d'un polynôme|degré]] 1 de $K[X]$ sont irréductibles
> - i ce ne sont pas les seuls irréductible. Ex: $X^{2} + 1$ est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$
^degre-1-irreductible


> [!proposition]+ Polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}$
> Soit $P \in \mathbb{R}[X]$
> $P \text{ irréductible } \iff \begin{cases} \operatorname{deg} P  = 1 \\ \text{ou} \\ \operatorname{deg} P = 2 \text{ et  a un discriminant } < 0  \end{cases}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - Soit $P \in \mathbb{R}[X]$
> >   Si $\operatorname{deg}P = 1$ alors $P$ est irréductible
> >   Si $\operatorname{deg} P = 2$ avec $\Delta < 0$ alors $P$ n'a pas de racine
> >   Posons $P = RS$ alors $\operatorname{deg} P = 2 = \operatorname{deg} R + \operatorname{deg} S$
> >   Alors on a les cas suivants :
> >    - si $\operatorname{deg} R = 0$ alors $R$ est inversible
> >    - si $\operatorname{deg} R = 2$ alors $\operatorname{deg} S = 0$ et donc $S$ est inversible
> >    - si $\operatorname{deg} R = 1$ alors $R$ à une racine, donc $P$ à une racine, ce qui est contradictoire car $\Delta < 0$
> >   Donc, $R$ ou $S$ est inversible d'où suit que $P$ est irréductible
> > 
> >  - supposons $P$ irréductible
> >    on sait que $\operatorname{deg} P \geq 1$
> >    d'après le [[théorème de d'Alembert-Gauss]], on sait que $P$ a au moins une racine $a \in \mathbb{C}$
> >    - si $a \in \mathbb{R}$ alors $X - a \mid P$ et donc $P = (X-a) R$. De là suit que $R$ est inversible, et donc que $R = \alpha \in \mathbb{R}^{*}$


# Exemples



%%   - un polynôme du premier [[polynôme#Degré|degré]] $aX+b$ est _irréductible_ ssi $a$ et $b$ sont [[nombres premiers entre eux|premiers entre eux]] %%