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aliases: 
up:
  - "[[polynôme]]"
  - "[[endomorphisme linéaire]]"
tags:
  - s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] avec $\dim(E) = n$
> Soit $P = a_0 + a_1 X + \cdots +a_{k}X^{k} \in K[X]$ ([[polynôme]])
> On note alors :
> - Si $f \in \mathscr{L}(E)$ alors $P(f) = a_0 \mathrm{Id}_{E} + a_1 f + \cdots + a_{k}f^{k}$
> - Si $A \in \mathcal{M}_{n}(K)$ alors $P(A) = a_0 I_{n} + a_1 A + \cdots + a_{k}A^{k}$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Les polynômes d'endomorphismes sont linéaires
> $P(f) \in \mathscr{L}(E)$

> [!proposition]+ Préservation des bases
> Si $B$ est une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $E$, alors $[P(f)]_{B} = P([f]_{B})$
>  - dem Cela vient du fait que $f \mapsto [f]_{B}$ est un [[isomorphisme d'anneaux]]

> [!proposition]+ Les polynômes d'endomorphismes sont linéaires
> $(\lambda P + Q)(f) = \lambda P(f) + Q(f)$

> [!proposition]+ Commutativité des polynômes d'endomophismes
> $(PQ)(f) = P(f) \circ Q(f) = (QP)(f)$

> [!proposition]+ Stabilité du [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] et de l'image
> $\ker P(f)$ et $\operatorname{Im} Q(f)$ sont stables par $f$

- Si $\lambda$ est [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] de $f$ alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(f)$


# Exemples