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aliases:
  - noyau
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up:: [[morphisme de groupes]]
sibling:: [[image d'un morphisme de groupes]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] Définition
> Soit $f : G \to G'$ un [[morphisme de groupes]] de [[groupe]]
> Le **noyau** de $f$, noté $\ker(f)$ est défini par :
> $\ker(f) := f^{-1}(1_{G'}) = \{ x \in G \mid f(x) = 1_{G'} \}$
^definition

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 1]
```

# Propriétés

> [!proposition]+ injectivité et noyau
> Soit $f : G \to G'$ un [[morphisme de groupes]]
> $f \text{ injectif} \iff \ker f = \{ 1_{G} \}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\implies$
> > supposons $f$ injectif
> > On a $\{ 1_{G} \} \subseteq \ker f$, et si $x \in \ker f$ alors $f(x) = 1_{G'} = f(1_{G})$
> > donc $x = 1_{G}$ par injectivité
> > On conclut que $\{ 1_{G} \} = \ker f$
> > - $\impliedby$
> > Supposons $\ker f = \{ 1_{G} \}$
> > Soient $x, y \in G$ tels que $f(x) = f(y)$
> > Ainsi :
> >  $\begin{align} f(x) (f(y))^{-1} = 1_{G'} &\implies f(xy^{-1}) = 1_{G'} \\ &\implies xy^{-1} \in \ker f \\&\implies xy^{-1} = 1_{G} \\&\implies x = y \end{align}$
> > De là suit que $f$ est injective
^morphisme-injectif-noyau

> [!proposition]+ le noyau est un sous groupe
> Le noyau d'un morphisme est un [[sous groupe]] de son ensemble de départ :
> Si $f: G \to G'$ est un morphisme, alors $\boxed{\ker f < G}$


<!--
> [!proposition]+ sous-groupe de $G$
> Soit $f : G \to G'$ un [[morphisme]].
> $\boxed{\ker f < G}$
> $\ker f$ est un [[sous-groupe]] de $G$
-->

# Exemples

> [!example] Exemple 1
> Le morphisme $\det : GL_{n}(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{\times}$
> vérifie :
> - $\mathrm{im}(\det) = \mathbb{C}^{\times}$
> - $\ker(\det) = SL_{n}(\mathbb{C}) = \{ M \in GL_{n}(\mathbb{C}) \mid \det M = 1 \}$
> 

> [!example] Exemple 2
> Le morphisme
> $\begin{align} c : \mathbb{R}^{*} &\to \mathbb{R}^{*} \\ x &\mapsto x^{2} \end{align}$
> vérifie :
> - $\mathrm{im} c = \mathbb{R}_{+}^{*}$
> - $\ker x = \{ -1; 1 \}$

> [!example] Exemple 3
> 
>