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up:
  - "[[loi de probabilités discrète]]"
tags:
  - s/maths/probabilités
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> [!definition] Définition
> Soit $p \in ]0, 1[$
> Une [[variable aléatoire réelle]] suit une **loi géométrique** de paramètre $p$ si :
> $\mathbb{P}_{X} = \sum\limits_{k \geq 1}p(1-p)^{k-1}\delta _{k}$
> On note alors $X \sim \mathcal{G}(p)$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Remarque
> On a bien :
> $\begin{align} \sum\limits_{k \geq 1}p(1-p)^{k} &= p \sum\limits_{k \geq 0}(1-p)^{l} \\&= p \frac{1}{1-(1-p)} & \text{car } |1 - p| < 1 \\&= 1 \end{align}$

> [!proposition]+ 
> Soit $p \in ]0, 1[$
> Soient $X_1, X_2, \dots$ indépendantes et de même loi $B(p)$
> Si $X = \inf\limits \{ n \geq 1 \mid X_{n} = 1 \}$ le rang du premier succès
> Alors $X \sim \mathcal{G}(p)$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $k \in \mathbb{N}^{*}$
> > $\begin{align} \mathbb{P}(X = k) &= \mathbb{P}(X_1 = 0, \dots, X_{k-1} = 0, X_{k}=1) \\&= \mathbb{P}(X_1=0) \cdots P(X_{k-1} =0)\mathbb{P}(X_{k} = 1) & \text{par indépendance des } X_{i} \\&= (1-p)^{k-1}p & \text{car } X_{i} \sim B(p)\end{align}$
> > de plus, on obtient $\sum\limits_{k \geq 1} \mathbb{P}(X = k) = 1$ ie. $\mathbb{P}(X < +\infty) = 1$
> > Donc $\mathbb{P}(X = +\infty) = 0$
> > 

> [!proposition]+ 
> $X \sim \mathcal{G}(p) \iff \forall k \geq 0,\quad \mathbb{P}(X > k) = (1-p)^{k}$

> [!proposition]+ Absence de mémoire
> Soi $X$ une [[variable aléatoire réelle]] à valeurs dans $\mathbb{N}^{*}$
> Alors :
> $X \text{ suit une loi géométrique} \iff \underbrace{\forall k, l \geq 1,\quad \mathbb{P}(X > k+l\mid X > k) = \mathbb{P}(X > l)}_{\text{absence de mémoire}}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\implies$
> >   $X \sim \mathcal{G}(p)$ et $p \in ]0, 1[$
> >   $\begin{align} \mathbb{P}(X>k+l \mid X > k) &= \frac{\mathbb{P}(X > k+l \mid X >k)}{\mathbb{P}(X > k)} \\&= \frac{\mathbb{P}(X>k+l)}{\mathbb{P}(X > k)} \\&= \frac{(1-p)^{k+l}}{(1-p)^{k}} \\&= (1-p)^{l} \\&= \mathbb{P}(X >l) \end{align}$
> > - $\impliedby$
> >   On suppose l'absence de mémoire pour $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}^{*}$
> >   Soit $k \geq 1$
> >   $\begin{align} \mathbb{P}(X > k +1) &= \mathbb{P}(X > k+1 \mid X > k) \mathbb{P}(X> k) + \mathbb{P}(X > k+1 \mid X\leq k) \mathbb{P}(X \leq k) & \text{formule des probabilités totales avec } \{ \{ X > k \}, \{ X \leq k \} \} \\&= \mathbb{P}(X > 1)\mathbb{P}(X > k) + 0 \cdot\mathbb{P}(X \leq k) & \text{par la propriété d'absence de mémoire} \\&= (1-\mathbb{P}(X = 1))\mathbb{P}(X > k) \end{align}$
> >   Ensuite, par récurrence $\forall k \geq 1$ on obtient :
> >   $\mathbb{P}(X>k) = (1-\mathbb{P}(X=1))^{k}$