up:: [[intégration]], [[intégrale de lebesgue]]
#s/maths/intégration 

> [!proposition] intégrale d'une somme
> Soient $f$ et $g$ des fonctions [[fonction mesurable|mesurables]] positives
> $\displaystyle \int _{E} (f+g) \, d\mu = \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $(f_{n})_{n}$ une suite croissante de [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]] telle que $f_{n} \xrightarrow{n \to \infty} f$
> > Soit $(g_{n})_{n}$ une suite croissante de [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]] telle que $g_{n} \xrightarrow{n \to \infty} g$
> > 
> > Par le [[théorème de convergence monotone des intégrales]], on peut déduire :
> > $\displaystyle \int _{E} (f_{n} + g_{n}) \, d\mu = \int _{E} f_{n} \, d\mu \int _{E} g_{n} \, d\mu$
> > et donc :
> > $\displaystyle\int_{E} (f+g) \, d\mu = \int _{E} g \, d\mu$
> > 

> [!corollaire]+  intégrale d'une somme infinie
> Soit $(f_{n})_{n}$ une suite de fonctions [[fonction mesurable|mesurables]] positives
> $\displaystyle \int_{E}  \left(\sum\limits_{n=0}^{+\infty} f_{n} \right) \, d\mu = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \left(\int_{E} f_{n} \, d\mu \right) \in \overline{\mathbb{R}}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Il suffit de se rendre compte que $N \mapsto \sum\limits_{n=0}^{N} f_{n}$ est une suite de fonctions mesurables à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}^{+}$.
> > On peut ensuite utiliser le [[théorème de convergence monotone des intégrales]]