up:: [[propriété vraie presque partout]]
#s/maths/intégration 

> [!definition] Définition
> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
> Une application $f$ définie sur $E$ est **négligeable** si $\{ x \in E \mid f(x) \neq 0 \}$ est négligeable, c'est-à-dire si $f$ est nulle [[propriété vraie presque partout|presque partout]]
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ négligeablilité et intégrabilité
> Soit $f$ une fonction mesurable.
> $f$ est négligeable $\iff$ $\displaystyle\int_{E} |f| \, d\mu = 0$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - Supposons $f$ négligeable et fixons $n \in \mathbb{N}^{*}$
> > Alors $\min (|f|, n) \leq n \mathbb{1}_{\{ |f| \neq 0 \}}$
> > Et par passage à l'intégrale :
> > $\displaystyle \int_{E} \underbrace{\min(|f|, n)}_{g_{n}} \, d\mu \leq n \underbrace{\mu(\{ f \neq 0 \})}_{=0} = 0$
> > On sait que la suite $(g_{n})$ définie par $g_{n} = \min(|f|, n)$ est une suite croissante de fonctions mesurables positives. Par le [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]], on a donc :
> > $\displaystyle \int_{E} |f| \, d\mu = \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu = \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} \, d\mu = 0$
> > 
> > - Réciproquement, soit $n \in \mathbb{N}^{*}$
> > $\displaystyle \mu\left( \left\{  |f|  \geq \frac{1}{n} \right\} \right) \leq n \int_{E} |f| \, d\mu = 0$
> > $\forall n \in \mathbb{N}^{*},\quad \{ |f|  \neq 0\} \subset \left\{  |f|  \geq \frac{1}{n} \right\}$
> > Mais $\displaystyle\{ |f| \neq 0 \} = \bigcup _{n \in \mathbb{N}^{*}} \left\{  |f| \geq \frac{1}{n}  \right\}$
> > Donc $\mu(\{ |f| \neq 0 \}) \leq \sum\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \underbrace{\mu\left( \left\{  |f| \geq \frac{1}{n}  \right\} \right)}_{= 0} \leq 0$
> > Donc, on a bien $\mu(\{ |f| \neq 0 \}) = 0$


# Exemples

> [!example] $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$
> $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ est null $\lambda$ presque partout car $\lambda(\mathbb{Q}) = 0$ ([[mesure de Lebesgue]])
> Mais $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ n'est pas négligeable pour $\delta_0$ : $\delta_0(\mathbb{Q}) = 1$ ([[mesure de Dirac]])