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sr-due: 2022-09-20
sr-interval: 28
sr-ease: 272
alias: ["négligeable", "négligeabilité", "fonction négligeable"]
up: "[[fonction]]"
sibling:
 - "[[fonction dominée en un point|domination]]"
 - "[[fonctions équivalentes|équivalence]]"
tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] fonction négligeable
> Soient deux fonctions $f$ et $g$, on dit que _$f$ est négligable devant $g$ en $x_0\in\overline{\mathbb{R}}$_, et on note $f=_{x_{0}}o(g)$ :
> $\displaystyle f = o_{x_{0}}(g) \iff \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$
^definition

> [!définition] fonction négligeable - autre définition
>  
> $f = o_{x_{0}}(g)$ si il existe $h$ telle que :
>  - $\lim\limits_{x_{0}} h = 0$
>  - $f = hg$
^definition-alternative

> [!définition] fonction négligeable - définition formelle
> $f = o_{x_{0}}(g) \iff \forall \varepsilon>0, \forall b \in \mathbb{R}, \forall x \in X, x \geq b \implies |f(x)| \leq \varepsilon|g(x)|$
> [[démonstration formule négligeabilité avec epsilon|démonstration]]
^definition-avec-epsilon

> [!definition] fonction négligeable - définition sur des espaces vectoriels
> Soient $E$ et $F$ des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]], et $\|\cdot\|$ une norme sur $E$
> Soit $g : E \to F$
> Soit $a \in E$
> On dit que $g(h) = \underset{h \to a}{o}(\|h\|)$ si :
> $\lim\limits_{ h \to a } \frac{g(h)}{\|h\|} = 0$
> 
^definition-espaces-vectoriels

# Propriétés

 - $f = o(g) \implies f = O(g)$
     - où $O$ désigne la [[fonction dominée en un point]]
     
 - Si $f = o_{+\infty}(g)$ et $h = o_{+\infty}(g)$, alors $\lambda f + \mu h = o_{+\infty}(g)$ ($(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^{2}$)
     - stable par [[combinaison linéaire]]
 
 - $o(1) = \varepsilon(x)$ car $\lim \frac{o(1)}{1} = 0$ donc $\lim o(1) = 0$

 - $f \sim_{x_{0}} g \iff f = g+o_{x_{0}}(g)$ ([[démonstration correspondance équivalence et domination|démonstration]])