---
aliases:
  - fonction dérivable de dérivée continue
  - fonction de dérivée continue
up:
  - "[[classe d'une fonction]]"
tags:
  - s/maths/analyse
---

> [!definition] Définition
> On dit qu'une fonction $f : \Omega \to F$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$ si elle est [[fonction différentiable|différentiable]] en tout point $x \in \Omega$ et si l'application $x \mapsto \mathrm{d}f(x)$ est [[application continue|continue]] de $\Omega$ dans $\mathscr{L}(E, F)$ l'[[espace vectoriel des applications linéaires]] 
^definition-differentielles

# Propriétés

> [!proposition]+ Les applications linéaires sont de classe $\mathscr{C}^{1}$
> Si $f : E \to F$ est [[application linéaire|linéaire]], alors elle est de classe $\mathscr{C}^{1}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > En effet, on sait que toute application linéaire est [[fonction différentiable|différentiable]] en tout $x \in E$, et on sait que $\mathrm{d}f(x)(h) = f(h)$ car $f$ est linéaire.
> > Donc :
> > $\begin{align} \mathrm{d}f : E \to \mathscr{L}(E, F) \\ x \mapsto f \end{align}$
> > qui est clairement [[application continue|continue]] puisqu'elle est constante.
> 

> [!proposition]+ Stabilité par composition
> Soit $f : \Omega \to F$
> Soit $g : \Omega' \to G$ où $\Omega'$ est un [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] de $F$ contenant $f(\Omega)$
> Si $f$ et $g$ sont de classe $\mathscr{C}^{1}$
> alors $g \circ f$ est également de classe $\mathscr{C}^{1}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On suppose que $f$ et $g$ sont dans $\mathscr{C}^{1}$
> > donc, en particulier, elles sont différentiables en tout point respectivement de $\Omega$ et $\Omega'$.
> > On a, $\forall x \in \Omega ,\quad \mathrm{d}(g \circ f)(x) = \mathrm{d}g(f(x)) \circ \mathrm{d}f(x)$
> > $g \circ f$ est bien différentiable en tout point de $\Omega$
> > Reste à vérifier que $\begin{align} \mathrm{d}(g \circ f) : \Omega &\to \mathscr{L}(E, G) \\ x &\mapsto \mathrm{d}(g \circ f)(x) \end{align}$ est continue (en sachant par hypothèse que les fonctions $\mathrm{d}g : \Omega' \to \mathscr{L}(F, G)$ et $\mathrm{d}f : \Omega \to \mathscr{L}(E, F)$)
> > Soit $x \in \Omega$ et soit $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \Omega^{\mathbb{N}}$ telle que $\|x_{n} - x\|_{E} \xrightarrow{n \to +\infty} 0$
> > On calcule alors :
> > $$\begin{align}
> > \|\mathrm{d}(g \circ f)(x_{n}) - \mathrm{d}(g \circ f)(x)\|_{\mathscr{L}(E, G)} &= \|\mathrm{d}g(f(x_n)) \circ \mathrm{d}f(x_n) - \mathrm{d}g(f(x)) \circ \mathrm{d}f(x)\|_{\mathscr{L}(E, G)}
> > \\&= \|\mathrm{d}g(f(x_{n})) \circ \mathrm{d}f(x_{n}) - \mathrm{d}g(f(x)) \circ \mathrm{d}f(x_{n}) + \mathrm{d}g(f(x)) \circ \mathrm{d}f(x_{n}) - \mathrm{d}g(f(x)) \circ \mathrm{d}f(x) \|_{\mathscr{L}(E, G)}
> > \\&\leq \| [\mathrm{d}g(f(x_{n})) - \mathrm{d}g(f(x))] \circ \mathrm{d}f(x_{n}) \|_{\mathscr{L}(E, G)} + \|\mathrm{d}g(f(x)) \circ \left[ \mathrm{d}f(x_{n}) \mathrm{d}f(x) \right]\|_{\mathscr{L}(E, G)}
> > \\&\leq \|\mathrm{d}g(f(x_{n})) - \mathrm{d}g(f(x))\|_{\mathscr{L}(E, G)} \times \|\mathrm{d}f(x_{n})\|_{\mathscr{L}(E, G)} + \|\mathrm{d}g(f(x))\|_{\mathscr{L}(E, G)} \times \|\mathrm{d}f(x_{n}) - \mathrm{d}f(x)\|_{\mathscr{L}(E, G)}
> > \end{align}$$
> 
> > [!corollaire]
> > Soit $f : \Omega \to F$ de classe $\mathscr{C}^{1}$
> > Soient $x, y \in \Omega$ tels que 
> > $[x, y] := \{ ty + (1-t)x \mid t \in [0, 1] \} \subset \Omega$ (le segment $[x, y]$ reste dans $\Omega$) (alternativement, on peut poser que $\Omega$ est [[convexe]])
> > Alors l'application :
> > $\begin{align} \varphi : [0, 1] &\to F \\ t &\mapsto \varphi(t) = f(ty + (1-t)x) \end{align}$
> > est bien définie et elle est de classe $\mathscr{C}^{1}$ sur $[0, 1]$ avec $\forall t \in [0, 1],\quad \varphi'(t) =$
> > 
> > > [!démonstration]- Démonstration
> > > Le caractère $\mathscr{C}^{1}$ de $\varphi$ est une conséquence immédiate de la proposition précédente, et du fait que la fonction $g : t \mapsto ty + (1-t)x = x + t(y-x) \in \mathscr{C}^{1}$ (en effet, $\varphi = f \circ g$)
> > > De plus $g'(t) = y - x$ et :
> > > $\begin{align} \varphi'(t) &= \mathrm{d}\varphi(t)(1) = \mathrm{d}(f \circ g)(t)(1)  \\&= \mathrm{d}f(g(t)) \circ \mathrm{d}g(t)(1) \\ &= \vdots \end{align}$

# Exemples