up:: [[mesure de probabilité]]
#s/maths/intégration 

> [!definition] Définition
> Soit $\mu$ une [[mesure de probabilité]] sur $\mathbb{R}$
> On lui associe sa **fonction caractéristique**
> $\displaystyle \varphi _{\mu} : t \to \int_{\mathbb{R}} e^{ itx } \, \mu(dx)$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ équivalence avec la transformée de Fourier
> Si $\mu$ admet pour densité par rapport à $\lambda$ la fonction $f$, on a :
> $\displaystyle \varphi _{\mu}(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{ itx } \, \mu(dx) = \int_{\mathbb{R}} e^{ itx }f(x) \, dx = \hat{f}(x)$
> où $\hat{f}$ est la [[transformée de Fourier]] de $f$

# Exemples