up::[[espace vectoriel]]
#s/maths/algèbre

> [!definition] [[espace vectoriel réel]]
> On appelle _espace vectoriel réel_ un [[espace vectoriel]] **[[espace vectoriel#Espace vectoriel sur un corps|sur]]** $\mathbb{R}$, c'est-à-dire $(\mathbb{R}^{n}, +, \cdot)$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Continuité avec la norme infini
> Soit $E = \mathbb{R}^{n}$ l'espace vectoriel muni de la [[norme infini]] $\|\cdot\|_{\infty}$, c'est-à-dire :
> $\|x\|_{\infty} = \max \{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_{n}| \}$)
> Soit $F$ un [[espace vectoriel normé]] quelconque
> Alors une [[application linéaire]] :
> $f : (\mathbb{R}^{n}, \|\cdot\|_{\infty}) \to (F, \|\cdot\|_{F})$
> est toujours [[application linéaire continue|continue]]
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $e_1, \dots, e_{n}$ la base canonique de $\mathbb{R}^{n}$
> > On note $f_1 = f(e_1) \quad f_2 = f(e_2) \quad \cdots f_{n} = f(e_{n})$
> > alors, si $x = x_1e_1+\cdots + x_2e_2$ est un vecteur quelconque de $\mathbb{R}^{n}$
> > $\begin{align} \|f(x)\|_{F} &= \|x_1f_1 + \cdots + x_{n}f_{n}\|_{F} \\&\leq \|x_1f_1\|_{F} + \|x_2f_2\|_{F} + \cdots + \|x_{n}f_{n}\|_{F} \\&\leq |x_1|\|f_1\|_{F} + \cdots + |x_{n}|\|f_{n}\|_{F} \\&\leq \|x\|_{\infty} (\underbrace{ \|f_1\|_{F} + \cdots + \|f_{n}\|_{F} }_{C}) \end{align}$
> > Donc, il existe un $C$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}^{n},\quad \|f(x)\|_{F} \leq C \|x\|_{\infty}$
> > $f$ est donc continue
^continuite-norme-infini

# Exemples