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aliases:
  - compact
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up:: [[espace métrique]]
#s/maths/topologie 

> [!definition] [[espace métrique compact]]
> Un [[espace métrique]] $(X, d)$ est **compact** si toute suite $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $X$ admet une [[suite extraite]] qui converge dans $X$.
^definition

> [!definition] Autres définitions
> - Pour n'importe quel $(U_{i})_{i \in I}$ [[recouvrement par des ouverts]] de $X$, il existe un [[recouvrement extrait|sous-recouvrement]] $(U_{j})_{j \in J}$ avec $J$ fini
> - Pour toute famille $(F_{i})_{i \in I}$ de [[partie fermée d'un espace métrique|fermés]] de $(X, d)$, si $\displaystyle\forall  J \subset I \text{ finie},\quad \bigcap _{j \in J} F_{j} \neq \emptyset$ alors $\displaystyle\bigcap _{i \in I} F_{i} \neq \emptyset$
> 
> Voir [[espace métrique compact#^definitions-alternatives|définitions alternatives]]

# Propriétés

> [!proposition]+ Toute partie compacte est fermée
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $C \subset X$ une partie compacte (pour la distance induite)
> Si toute suite $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ admet une [[suite extraite]] $(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ convergente dans $C$, alors $C$ est [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]].
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $C$ qui converge vers $\ell$
> > $(x_{n})_{n}$ admet une [[suite extraite|sous-suite]] $(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge dans $C$
> > Mais, vu la remarque précédente, on a : $x_{\varphi(n)} \xrightarrow{n \to \infty} \ell$
> > et, par hypothèse : $\ell = \lim\limits_{ n \to \infty } x_{\varphi(n)} \in C$
> > Donc $\ell \in C$ et $C$ est bien fermé

> [!proposition]+ une fonction réelle continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes
> Soit $(X, d)$ un espace métrique compact non vide
> Si $f : X \to \mathbb{R}$ est une [[application continue]], alors :
> $\displaystyle\exists x_0 \in X,\quad f(x_0) = \inf_{x \in X}f(x)$
> $\displaystyle\exists x_1 \in X,\quad f(x_1) = \sup_{x \in X} f(x)$
> - = en particulier, $\inf\limits_{x \in X} f(x) > -\infty$ et $\sup\limits_{x \in X}f(x) < +\infty$
> - I On dit qu'une fonction continue à valeurs réelles sur un compact est bornée et atteint ses bornes
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $X$ telle que $\displaystyle f(x_{n}) \xrightarrow{n \to \infty} \inf_{x \in X} f(x)$
> > La suite $(x_{n})$ admet une [[suite extraite|sous-suite]] $(x_{\varphi(x)})_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge dans $X$.
> > Notons $x_0 = \lim\limits_{ n \to \infty } x_{\varphi(n)}$
> > Comme $f$ est continue, on a :
> > $\begin{align} f(x_0) &= \lim\limits_{ n \to \infty } f(x_{\varphi(n)}) \\ &= \inf_{x \in X} f(x) \end{align}$
> > On a donc trouvé $x_0 \in X$ tel que $\displaystyle f(x_0) = \inf_{x \in X} f(x)$
> > On procède de la même manière pour trouver $x_1 \in X$ tel que $f(x_1) = \sup_{x \in X}f(x)$
>  
> > [!example]- Exemple d'application
> > considérons $C$ une partie compacte non vide de $(X, d)$ un [[espace métrique]] quelconque
> > Fixons $a \in C$
> > La fonction
> > $\begin{align} f : C &\to \mathbb{R}\\ x &\mapsto d(a, x) \end{align}$
> > est continue
> > Donc il existe $x_1 \in C$ tel que $\displaystyle f(x_1) = \sup_{x \in C} f(x)$
> > $\displaystyle d(a, x_1) = \sup_{x \in C} d(a, x)$
> > Si on note $R = d(x_1, a)$, on a $\forall x \in C,\quad d(a, x) \leq \sup\limits_{x \in C} d(a, x)$
> > donc $d(a, x) \leq R$
> > et donc $C$ est bornée

> [!proposition]+ La compacité est stable par union finie
> Soit $(X, d)$ un espace métrique
> Si $C_1, \dots, C_{n}$ est un ensemble fini de parties compactes de $X$, alors :
> $\displaystyle\bigcup _{k = 1}^{n} C_{k}$ est encore une partie compacte

> [!proposition]+ La compacité est stable par intersection dénombrable
> Soit $(X, d)$ un espace métrique
> Si $F_1, \dots, F_{n}$ est un ensemble quelconque de parties fermées dont au moins une est compacte, alors :
> $\displaystyle \bigcap _{k=1}^{n} F_{k}$ est compacte

> [!proposition]+ compacité sur un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]]
> Soit $(E, \|\cdot\|)$ un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel de dimension finie]] 
> Pour toute partie $C \subset E$, on a équivalence entre :
> 1. $C$ est compacte
> 2. $C$ est [[partie fermée d'un espace métrique|fermée]] [[fonction bornée|bornée]]
> 

![[théorème de Riesz#^theoreme]]

> [!proposition]+ Définitions alternatives de la compacité
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Alors on a équivalence entre :
> 1. $(X, d)$ est compact
> 2. Pour n'importe quel $(U_{i})_{i \in I}$ [[recouvrement par des ouverts]] de $X$, il existe un [[recouvrement extrait|sous-recouvrement]] $(U_{j})_{j \in J}$ avec $J$ fini
> 3. Pour toute famille $(F_{i})_{i \in I}$ de [[partie fermée d'un espace métrique|fermés]] de $(X, d)$, si $\displaystyle\forall  J \subset I \text{ finie},\quad \bigcap _{j \in J} F_{j} \neq \emptyset$ alors $\displaystyle\bigcap _{i \in I} F_{i} \neq \emptyset$
> 
> - ? **Intérêt** : on a des définitions de la compacité qui n'utilisent pas la convergence des suites (bien pour les [[structure de topologie|espaces topologiques]] généraux)
> - dem [[démonstration des définitions alternatives de la compacité|démonstration]]
^definitions-alternatives

# Exemples

- p Par le [[Théorème de Bolzano-Weierstrass]], on sait que tout intervalle $I$ [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]] borné de $\mathbb{R}$ est compact.
- c $\mathbb{R}$ n'est pas compact
    - si $x_{n} =n$, alors toutes les sous-suites de $(x_{n})$ tendent vers $+\infty$
- c $]0; 1]$ n'est pas compact
    - par exemple, $x_{n} = \frac{1}{n+1}$ est une suite d'éléments de $]0; 1]$ mais toutes les suites extraites convergent vers $0 \notin ]0; 1]$