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alias: [ "ensemble des formes linéaire", "espace dual", "espace vectoriel dual" ]
up: "[[espace vectoriel]]"
tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] ensemble des formes linéaire d'un espace vectoriel
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
> On note $E^{*}$ l'ensemble des [[forme linéaire|formes linéaires]] sur $E$
> 
> $E^{*}$ est appelé **espace dual de $E$**
> 
> On peut également utiliser la notation $\mathscr{L}(E, \mathbf{K})$ (l'[[espace vectoriel des applications linéaires]] de $E \to \mathbf{K}$)
^definition

# Propriétés

 - $\dim E^{*} = \dim E$

> [!proposition]+ Dimension de l'espace dual
> Si $E$ est de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie
> Alors $E^{*}$ est un [[espace vectoriel]] de même dimension que $E$ :
> $\dim E^{*}  = \dim E$
> - I Evident car une forme linéaire sur $E$ est une matrice de taille $1\times \dim E$, et donc $E^{*}$ peut être assimilé à $E$ par les matrices des formes linéaires
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > preuve : $\dim E* = \dim \left( \mathcal{L}(E, \mathbf{K}) \right) = \underbrace{\dim E \times \dim K}_{\text{taille des matrices de } E^{*}} = \dim E \times 1 = \dim E$
> > 
> > ---
> > Autrement :
> > 
> > On sait que si $E, F$ sont des $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]] de dimension finie, alors $\mathscr{L}(E, F)$ est un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de dimension $\dim(E)\dim(F)$.
> > Ici, $\dim(F) = 1$.
> > Donc si $\dim(E) < +\infty$, on a :
> > $\dim(E^{*}) = \dim(E)$

> [!proposition]+ 
> Soit $E$ un [[espace vectoriel]]
> Soit $B = (e_1, \dots, e_{n})$ une base de $E$
> $\exists ! B^{*} = (e_1^{*}, \dots, e_{n}^{*}) \text{ base de } E^{*},\quad e_{i}^{*} (e_{j}) = \delta _{ij}$
> 

> [!proposition]+ 
> $\forall \varphi \in E^{*},\quad \sum\limits_{i = 1}^{n} \varphi(e_{i})e_{i}^{*} = \varphi$
> $\forall x \in E,\quad x = \sum\limits_{i = 1}^{n} e_{i}^{*} (x) e_{i}$

> [!proposition]+ 
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
> Soit $\varphi \in E^{*}$
> $\exists \lambda_1, \dots, \lambda _{n} \in \mathbf{K},\quad \varphi = \sum\limits_{i = 1}^{n} \lambda _{i} e_{i}^{*}$ car $(e_1^{*}, \dots, e_{2}^{*})$ est une base de $E^{*}$
> Donc :
> $\displaystyle \varphi\left( e_{j} = \sum\limits_{i = 1}^{n} \lambda _{i}\underbrace{e_{i}^{*}(e_{j})}_{\substack{0 \text{ si } i \neq j\\ 1 \text{ si } i = j }} \right)$

> [!proposition]+ Propriétés des formes linéaires
> Soit $\varphi \in E^{*}$
> Alors $\varphi \neq 0$ si et seulement si $\varphi$ est [[surjection|surjective]]
> Si $\dim (E)  = n< +\infty$ alors $\varphi \neq 0 \iff \dim(\ker(\varphi)) = n-1$

# Exemples

## 1.
$E = \mathbb{R}^{3}$ avec $B_{C} = (e_1, e_2, e_3)$ sa base canonique et $B_{C}^{*} =(e_1^{*}, e_2^{*}, e_3^{*})$ la base canonique de $(\mathbb{R}^{3})^{*}$

$e_1^{*}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = x$
posons $B = (e_1, e_2, e_1+e_3)$
- ! On a envie de dire $B^{*} = (e_1^{*}, e_2^{*}, e_1^{*} + e_3^{*})$, mais c'est faux
    - On peut écrire : $B^{*} = (e_1^{*}, e_2^{*}, (e_1+e_3)^{*})$