---
aliases: 
up:
  - "[[probabilités]]"
tags:
  - s/maths/probabilités
---

> [!definition] Définition
> Soit $X$ une [[variable aléatoire réelle]] **positive** définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$
> On appelle **espérence de $X$** :
> $\displaystyle \mathbb{E}(X) = \int_{\Omega} X \, d\mathbb{P} = \int_{\Omega} X(\omega) \, d\mathbb{P}(\omega) \in [0, +\infty]$
> L'[[intégrale de lebesgue]] de $X$ pour la [[mesure de probabilité]] $\mathbb{P}$ sur l'univers $\Omega$
> - i si $A \in \mathcal{A}$ alors $\mathbb{E}(\mathbb{1}_{A}) = \mathbb{P}(A)$
^definition

> [!definition] Définition - admettre une espérance
> Soit $X$ une [[variable aléatoire réelle]] définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$
> On dit que $X$ **admet une espérance** si $\mathbb{E}(|X|) < +\infty$
> Dans ce cas, l'expérance de $X$ est : $\displaystyle\mathbb{E}(X) = \int_{\Omega} X \, d\mathbb{P}$

> [!info] Notations
> $\begin{align} \mathcal{L}^{1} &= \mathcal{L}^{1}(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \\&= \{ X \text{ v.a.r.} \mid \mathbb{E}(X) < +\infty \} \end{align}$

# Propriétés

> [!proposition]+ Linéarité de l'espérance
> Soient $X, Y \in \mathcal{L}^{1}$ et $a, b \in \mathbb{R}$
> Alors :
> $aX + bY \in \mathcal{L}^{1}$
> et :
> $\mathbb{E}(aX + bY) = a\mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y)$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > cela est évident par les propriétés de l'[[intégrale de lebesgue]]
^linearite

> [!proposition]+ 
> Soient $X, Y \in \mathcal{L}^{1}$ avec $X \leq Y$
> alors $\mathbb{E}(X) \leq \mathbb{E}(Y)$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > cela est évident par les propriétés de l'[[intégrale de lebesgue]]

> [!proposition]+ 
> Soit $X \in \mathcal{L}^{1}$
> alors $|\mathbb{E}(X)| \leq \mathbb{E}(|X|)$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > cela est évident par les propriétés de l'[[intégrale de lebesgue]]

> [!proposition]+ Espérance d'une moyenne
> Soient $X_1, X_{2}, \dots$ des v.a.r. **indépendantes toutes de même loi** dans $L^{1}$
> On pose $\overline{X_{n}} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i}$ 
> Alors :
> $\boxed{\mathbb{E}(\overline{X_{n}}) = \mathbb{E}(X_1)}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $\begin{align} \mathbb{E}(\overline{X_{n}}) &= \frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} \underbrace{\mathbb{E}(X_{i})}_{\substack{=\mathbb{E}(X_1)\\\text{ car même loi}}} & \text{ par linéarité de } \mathbb{E} \\&= \frac{1}{n} \cdot n \mathbb{E}(X_1) \\&= \mathbb{E}(X_1)\end{align}$

> [!proposition]+ Espérance d'événements indépendants
> Si $X, Y \in L^{1}$ sont [[événements indépendants|indépendants]]
> Alors $XY \in L^{1}$ et :
> $\mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X) \mathbb{E}(Y)$
> 
> - ! la réciproque n'est pas vraie (on peut avoir cette égalité sans que $X$ et $Y$ soient indépendantes) 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $X, Y \in L^{1}$
> > On a $\mathbb{E}(|XY|) = \int_{\mathbb{R}^{2}} \, d\mathbb{P}_{(X, Y)}(x, y)$ par le [[théorème de transfert]]
> > Comme $X$ et $Y$ sont idépendantes on a :
> > $\mathbb{P}_{(X, Y)} = \mathbb{P}_{X} \otimes \mathbb{P}_{Y}$ (par fubini positif)
> > Donc :
> > $\begin{align} \mathbb{E}(|XY|) &= \int_{\mathbb{R}} |x| \, d\mathbb{P}_{X}(x) \int_{\mathbb{R}} |y| \, d\mathbb{P}_{Y}(y) \\&= \underbrace{\mathbb{E}(|X|)}_{<+\infty \text{ car } X \in L^{1}} \cdot \underbrace{\mathbb{E}(|Y|)}_{< +\infty \text{ car } Y \in L^{1}} < +\infty \end{align}$
> > D'où suit que $XY \in L^1$ 
> > En appliquant Fubini général on obtient : 
> > $\begin{align} \mathbb{E}(XY) &= \int_{\mathbb{R}^{2}} xy \, d\mathbb{P}_{X} \otimes \mathbb{P}_{Y}(x, y) \\&= \int_{\mathbb{R}} x \, d\mathbb{P}_{X}(x) \int_{\mathbb{R}} y \, d\mathbb{P}_{Y}(y) \\&= \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \end{align}$
> > 
^esperance-evenements-indepdants

## Corollaires du [[théorème de transfert]]
![[théorème de transfert#^corollaire-var-discrete]]

![[théorème de transfert#^corollaire-var-a-densite]]

# Exemples