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share_updated: 2024-10-04T11:36:40+02:00
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up:: [[espace vectoriel des applications linéaires]], [[application linéaire continue]]
#s/maths/algèbre #s/maths/topologie 

> [!definition] [[ensemble des applications linéaires continues]]
> Soient $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]]
> On note $\mathcal{L}_{C}(E, F)$ ou $\mathscr{L}(E, F)$ l'ensemble des applications linéaires continues de $E \to F$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}$
> Soient $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] avec $E \neq \{ 0 \}$
> $\mathscr{L}(E, F)$ est un [[sous espace vectoriel]] de $\mathcal{L}(E, F)$ (l'[[espace vectoriel des applications linéaires]] de $E \to F$)
> Et $|\!|\!|\cdot|\!|\!|$, la [[norme triple]], est une norme sur $\mathscr{L}(E, F)$
> 
> - ! On doit bien avoir $E \neq \{ 0 \}$, sinon $|\!|\!|f|\!|\!| = \sup\limits_{\substack{x \in E\\x \neq 0}} \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} = +\infty$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration : $\mathscr{L}(E, F)$ est un sev
> > - **élément nul**
> > Si $f$ est l'application nulle : $f: x \mapsto 0_{F}$
> > Alors $\|f(x)\| = 0 \leq 0 \|x\|$
> > Donc $f$ est continue : $f \in \mathscr{L}(E, F)$
> > - **Stabilité par combinaison linéaire**
> > Si $f, g \in \mathscr{L}(E, F)$ et si $\lambda \in \mathbb{R}$
> > On a $\forall x \in E$ :
> > $\|f(x)\|_{F} \leq |\!|\!|f|\!|\!|\cdot \|x\|_{E}$
> > $\|g(x)\|_{F} \leq |\!|\!|g|\!|\!|\cdot \|x\|_{E}$
> > Donc :
> > $\begin{align} \|(\lambda f+g)(x)\|_{F} &= \|\lambda f(x) + g(x)\|_{F} \\ &\leq |\lambda|\|f(x)\|_{F} + \|g(x)\|_{F} \\&\leq (\underbrace{|\lambda|\cdot |\!|\!|f|\!|\!| + |\!|\!|g|\!|\!| }_{C}) \|x\|_{E} \end{align}$
> > c'est-à-dire $\forall x \in E,\quad \|(\lambda f+g)(x)\|_{F} \leq C \|x\|_{E}$
> > Donc, $\lambda f+g \in \mathscr{L}(E, F)$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration : $|\!|\!||\!|\!|$ est une norme sur $\mathscr{L}(E, F)$
> > - $\forall f \in \mathscr{L}(E, F),\quad |\!|\!|f|\!|\!| \geq 0$
> > et $|\!|\!|f|\!|\!| = 0 \iff f = 0_{E \to F}$ :
> >     - $\displaystyle|\!|\!|f|\!|\!| = \sup_{x \neq 0_{E}} \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{F}}\geq 0$  (car c'est un sup de nombres $\geq 0$)
> >     - si $f = 0_{E \to F}$, alors $\|f(x)\|$
> >     - $\vdots$
> > - si $f \in \mathscr{L}(E, F)$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $|\!|\!|\lambda f|\!|\!| = |\lambda| \cdot |\!|\!|f|\!|\!|$
> > en effet, on a :
> > $\begin{align} |\!|\!|\lambda f|\!|\!| &= \sup_{x \neq 0_{E}} \frac{\|(\lambda f)(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} = \sup_{x \neq 0_{E}} \frac{\|\lambda f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \\&= \sup_{x \neq 0_{E}} \left( |\lambda| \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \right) \\&= |\lambda| \sup_{x \neq 0_{E}} \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \\&= |\lambda| \cdot |\!|\!|f|\!|\!| \end{align}$
> > - si $f, g \in \mathscr{L}(E, F)$, alors $\|f+g\| \leq \|f\| + \|g\|$
> > on a $\forall x \in E \setminus \{  0 \}$ :
> > $\begin{align} \frac{\|(f+g)(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} &= \frac{\|f(x)+g(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \\&\leq \frac{\|f(x)\|_{F} + \|g(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \\&\leq \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} + \frac{\|g(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \end{align}$
> > et donc :
> > $\frac{\|(f+g)(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \leq |\!|\!|f|\!|\!| + |\!|\!|g|\!|\!|$
> > En passant au $\sup$ :
> > 
> > $|\!|\!|f+g|\!|\!| = \sup \frac{\|(f+g)(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \leq |\!|\!|f|\!|\!| + |\!|\!|g|\!|\!|$
> 
> 

# Exemples