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up:
  - "[[distance]]"
sibling:
  - "[[normes équivalentes]]"
tags:
  - s/maths/topologie
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> [!definition] Définition
> Soient $(X, d_1)$ et $(X, d_2)$ deux [[espace métrique|espaces métriques]]
> Les [[distance|distances]] $d_1$ et $d_2$ sont dites **équivalentes** si :
> $\exists a, b >0,\quad \forall x, y \in X,\quad a\cdot d_1(x, y) \leq d_2(x, y) \leq b\cdot d_1(x, y)$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ équivalence des limites
> Soient $(X, d_1)$ et $(X, d_2)$ deux [[espace métrique|espaces métriques]] tels que $d_1$ et $d_2$ soient équivalentes
> $\boxed{\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = \ell \text{ dans } (X, d_1) \iff \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = \ell \text{ dans } (X, d_2)}$
> Autrement dit, si $(x_{n})$ [[suite convergente|converge]], alors elle à la même limite dans $(X, d_1)$ et dans $(X, d_2)$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Comme $d_1$ et $d_2$ sont équivalentes, on sait qu'il existe $A, B>0$ tels que pour tout $x, y \in X$ on aie $A d_1(x, y) \leq d_2(x, y) \leq B d_1(x, y)$
> > Ainsi, si $\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = \ell$ dans $(X, d_1)$, alors on a $0 \leq d_2(x_{n}, \ell)  \leq B d_1(x_{n}, \ell)$.
> > Or le terme de droite tend vers 0, donc, par encadrement, on a $\lim\limits_{ n \to \infty } d_2(x_{n}, \ell) = 0$ et donc $\lim\limits_{ n \to \infty } x_{n} = \ell$
> > 
> > Comme la relation d'équivalence des distances est [[relation symétrique|symétrique]], on sait qu'il suffit d'inverser le rôle de $d_1$ et $d_2$ dans la démonstration précédente pour obtenir l'implication inverse.
> > 
> > De là on sait que $\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} =\ell \text{ dans } (X, d_1) \iff \lim\limits_{ n \to \infty } x_{n} = \ell \text{ dans } (X, d_2)$

> [!proposition]+ des normes équivalentes induisent des distances équivalentes
> Soient $\|\cdot\|_{1}$ et $\|\cdot\|_{2}$ deux [[normes équivalentes]]
> Les distances $d_1$ et $d_2$ induites par ces normes sont aussi équivalentes

# Exemples