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sr-due: 2023-06-15
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sr-ease: 312
up: "[[dérivation]]"
tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] Notation
>  - $f^{(0)}=f$
>  - $f^{(n)} = (f^{(n-1)})'$ si cette dérivée existe

# Propriétés

  - prop Si $f^{(n)}$ existe, alors toutes les dérivées d'ordre inférieur existent
  - prop $\left(f^{(p)}\right)^{(q)} = f^{(p+q)}$

> [!proposition]+  Ordre
>  Dans $f^{(n)}$, on appelle **ordre** de dérivation la valeur de $n$
> 
> - = $f^{(5)}$ est une dérivée d'**ordre 5**

> [!proposition]+  Linéarité des dérivées successives
> Soient $f, g \in \mathcal{D}^{n}$ des fonctions $n$ fois dérivables
> Soit $k \in \mathbb{R}$ quelconque
> On a $(k\cdot f +g) \in \mathcal{D}^{n}$ et l'égalité suivante :
> $\boxed{(x\cdot f+g)^{(n)} = k\cdot f^{(n)} + g^{(n)}}$
> Par ailleurs, si $g$ ne s'annule pas, on a :
> $\frac{f}{g} \in \mathcal{D}^{n}$

> [!proposition]+ Formule de Leibniz
> 
> $\displaystyle(f\times g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \left( \binom{n}{k}f^{(k)}\times g^{(n-k)} \right)$
> 
> > [!example]- Exemple
> > $h(x) = x^2 \times e^{3x}, \mathscr D_f = \mathbb R$
> > On pose $f(x) = x^2$ et $g(x) = e^{3x}$
> > - $f^{(0)}=x^2$
> > - $f^{(1)}=2x$
> > - $f^{(2)} = 2$
> > - $f^{(n)}(x) = 0$ pour $n\geq 3$
> > et
> > - $g^{(0)} = e^{3x}$
> > - $g^{(1)}=3e^{3x}$
> > - $g^{(2)}=9e^{3x}$
> > - $\vdots$
> > - $g^{(n)}=3^n \cdot e^{3x}$
> > 
> > Donc:
> > $$\begin{align}
> > h^{(4)}(x) &= \sum_{k=0}^4 \left( \binom4k \cdot f^{(k)}(x) \cdot g^{(4-k)}(x) \right)\\[2ex]
> > &= x^2 \cdot 81e^{3x} + 4 \cdot 2x \cdot 27e^{3x} + 6 \cdot 2 \cdot 9e^{3x} + 0\\[1ex]
> > &= 27e^{3x}\left( 3x^2 + 8x + 4 \right)
> > \end{align}$$