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aliases:
  - dérivées partielles
up:
  - "[[dérivée directionnelle]]"
tags:
  - s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
> Soit $f : \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \to F$ avec $\Omega$ [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]]
> Soit $x \in \Omega$
> Pour $i \in [\![1; n]\!]$ on définit au voisinage de $x_{i}$ la fonction 
> $g_{i}(t) = f(x_1, \dots, x_{i-1}, t, x_{i+1}, \dots, x_{n}) \in F$ (la [[curryfication]] du $i$ème paramètre)
> On dit alors que $f$ **admet une dérivée partielle en $x$ par rapport à sa $i$ème coordonnée** si $g_{i}$ admet une dérivée en $x_{i}$, c'est-à-dire si :
> $\lim\limits_{ h \to 0 } \dfrac{g_{i}(x + h) - g_{i}(x)}{h} \in F$  existe
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ équivalence entre dérivée partielle et dérivée directionnelle
> Soit la fonction $f : \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \to F$
> Soit $(e_1, e_2, \dots, e_{n})$ la [[base canonique d'un espace vectoriel|base canonique]] de $\mathbb{R}^{n}$
> on a équivalence entre :
>  - $f$ admet une dérivée partielle par rapport à la $i$ème coordonnée en $x$
>  - $f$ admet en $x$ une [[dérivée directionnelle]] dans la direction $e_{i}$
> Et on a alors :
> $\dfrac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x) = D_{e_{i}}f(x)$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > C'est immédiat :
> > $\frac{1}{t}(g_{i}(x_{i} + t) - g(x_{i})) = \frac{1}{t}(f(x+t e_{i}) - f(x))$

# Exemples