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up: "[[cours L3]]"
tags: "#s/maths/topologie"
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> [!idea] But du cours
> On cherche à définir la notion de continuité pour les applications linéaires entre espaces vectoriels de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] infinie (car on a pas de problèmes entre [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie)

> [!hint] Ce cours est à la base :
> - du calcul différentiel (M1 : analyse complexe)
> - de l'analyse fonctionnelle 
>     - étude des espaces de fonctions (par exemple $\mathscr{C}^{h}\left( [0;1], \mathbb{R} \right)$)
>     - équations différentielles
> - Intégration (espaces $L^{p}$, avec $L$ pour Lebesgue)
>     - permet de définir les probabilités

# 1 - [[espace métrique|espaces métriques]] et espaces vectoriels normés

![[distance#^definition]]

# 2 - topologie des [[espace métrique|espaces métriques]]
- [[espace métrique]]
    - [[suite convergente]]
        - [[seconde inégalité triangulaire|seconde inégalité triangulaire (utilisée dans une démonstration)]]
    - [[boule]]
        - [[boule fermée]]
        - [[boule ouverte]]
        - [[voisinage dans un espace métrique|voisinage]]
    - [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]]
    - [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]]
    - [[partie bornée|borné]]
    - [[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]
    - [[intérieur d'un espace métrique|intérieur]]

- [[espace mesuré]]
    - [[fonction mesurable]]
    - [[mesure positive d'une application|mesure positive]]
        - [[mesure de Lebesgue]]
        - [[mesure de probabilité]]
        - [[mesure discrète]]
            - [[mesure de Bernoulli|mesure de Bernoulli]]
            - [[mesure de Dirac|mesure de Dirac]]
            - [[mesure de Bernoulli|mesure de Bernoulli]]
        - [[mesure finie]]
        - [[mesure image]]
        - [[mesure trace]]

# 3 - ...

# 4 - Construction de l'intégrale de Lesbegue sur $(E, \mathcal{A}, \mu)$

## 4.1 - Fonctions étagées positives

- [[fonction étagée positive]]

## 4.2 - Fonctions mesurables positives
- [[théorème des valeurs extrêmes|théorème de Weierstrass]]

# Chapitre 3: continuité

- [[application continue|continue]]
- 

# Chapitre 4 : compacité
- [[espace métrique compact]]
- [[recouvrement d'ensemble]]