up:: [[intégrale de lebesgue]]
#s/maths/intégration 

> [!proposition]+  positivité
> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
> Soit $f$ une fonction de $(E, \mathcal{A}, \mu) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$.
> Si $f \geq 0$, alors $\int_{E} f \, d\mu \geq 0$

> [!lemme]- Comparaison de fonctions étagées positives
> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
> Si $f$ et $g$ sont deux [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]] telles que $0 \leq f \leq g$
> $\displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Il suffit de remarque que $g - f$ est aussi une [[fonction étagée positive]], et donc, d'après la [[intégrale de lebesgue#^linearite|linéarité]] :
> > $\displaystyle\int _{E} g \, d\mu = \int _{E} f+ (g-f) \, d\mu =  \int _{E} f \, d\mu + \underbrace{\int _{E} g - f \, d\mu}_{\in \mathbb{R}^{+}}$
> > 

> [!proposition]+ Comparaison de fonctions mesurables
> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
> Si $f$ et $g$ sont deux [[fonction mesurable|fonctions mesurables]] telles que $0 \leq f \leq g$
> $\displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On utilise le lemme précédent sur $(f_{n})$ et $(g_{n})$ des suites de fonctions étagées positives telles que $f_{n} \xrightarrow{n \to \infty} f$ et $g_{n} \xrightarrow{n \to \infty} g$.
> > Ensuite, par passage à la limite (par le [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]), on a bien démontré la propriété