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aliases: 
up:
  - "[[anneau]]"
tags:
  - s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
> Soit $A$ un anneau
> La **caractéristique de $A$**, notée $\mathrm{Car}(A)$ est le plus petit entier $n \geq 1$ tel que dans $A$, $n 1_{A} = 0_{A}$
> S'il n'y en a pas, alors $\mathrm{Car}(A) = 0$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Cas particulier : caractéristique égale à 1
> Soit $A$ un anneau
> $A /A = \{ \overline{0} \}$
> et alors $\operatorname{Car}(A /A) = 1$
>  - i C'est le seul ensemble de caractéristique $1$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $B = \{ 0 \}$ est bien un anneau :
> > $0 + 0 = 0$
> > $0 \cdot 0 = 0$
> > on voit que $0 = 1$ dans cet anneau
> > 
> > Et on a bien $1 \cdot 0 = 0$

> [!proposition]+ Caractéristiques des corps
> Soit $A$ [[anneau intègre]] (ou un [[corps]]) de caractéristique $p$
> Alors $p$ est [[nombre premier|premier]]
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > supposons $p = n \cdot m$ avec $n, m > 0$
> > Alors $0_{A} = p 1_{A} = (n 1_{A})(m 1_{A})$
> > or, $A$ est [[anneau intègre|intègre]], donc  :
> > $\begin{cases} n 1_{A} = 0_{A} \\ \text{ou} \\ m 1_{A} = 0_{A} \end{cases} \implies \begin{cases} m \in \ker f = p \mathbb{Z} \\ \text{ou} \\ n \in p\mathbb{Z} \end{cases} \implies \begin{cases} m = p\\ \text{ou} \\ n = p \end{cases}$
> > D'où suit que $p$ n'a aucun facteur non trivial, et donc que $p$ est premier ou vaut $1$.
> > Mais pas $1$, car si $p = 1$, alors $p 1_{A} = 0_{A} \implies 1_{A} = 0_{A}$
> >



# Exemples