up::[[structure algébrique]]
title::"$e$ tel que $\forall x \in E, x*e = e*x = x$"
#s/maths/algèbre

> [!definition] 
> Un élément $e\in E$ est appelé _élément neutre_ de $E$ pour la loi $*$ ssi : $\forall a\in E, a*e=e*a=a$
^definition

# Remarque
 - S'il existe $e\in E$ tel que $\forall a\in E, a*e=a$, on dit que $e$ est _élément neutre à droite_.
 - S'il existe $e\in E$ tel que $\forall a\in E, e*a=a$, on dit que $e$ est _élément neutre à gauche_

# Propriétés
- Un élément neutre est toujours unique ([[démonstration un groupe possède un unique élément neutre|démonstration]])

## Démonstration
On suppose que $E$ possède deux éléments neutres $e$ et $e'$ pour la [[loi de composition interne]] $*$
Alors: 
- $e*e' = e$ car $e'$ est élément neutre à droite.
- $e*e'=e'$ car $e$ est élément neutre à gauche.
Donc $e = e'$.
Conclusion: l'élément neutre, s'il existe, est unique.