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alias:
  - matrice polynôme caractéristique
up:
  - "[[endomorphisme linéaire]]"
  - "[[objets associés à une matrice]]"
sibling: "[[polynôme caractéristique d'un endomorphisme linéaire]]"
tags:
  - "#s/maths/algèbre"
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- I $\det(M - \lambda \cdot \operatorname{Id}_{n})$


> [!definition] polynôme caractéristique
> Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{K})$ une [[matrice]] carrée
> Le [[polynôme]] caractéristique de $M$ est :
> $\det(M - \lambda  \operatorname{ID}_{n})$
> C'est un polynôme dont les [[racines d'un polynôme|racines]] sont les [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] de $M$
^definition

> [!definition] [[polynôme caractéristique d'une matrice]]
> Soit $M$ une matrice carrée
> $\det(X \operatorname{Id}_{n} - M)$ est le polynôme caractéristique de $M$


# Propriétés
Soit $P$ le polynôme caractéristique d'une matrice $M$

 - les [[racines d'un polynôme|racines]] de $P$ sont les [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] de $M$
     - l'[[ordre d'une racine d'un polynôme|ordre d'une racine]] est l'[[ordre d'une valeur propre|ordre de la valeur propre]]