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up:
  - "[[suites particulières]]"
tags:
  - s/maths
aliases:
  - suite look-and-say
  - audioactive decay
  - look-and-say sequence
author:
  - "[[John Horton Conway|John Conway]]"
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> [!definition] [[désintégration audioactive]]
> La règle de définition est :
> $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
^definition

# Notations
 - On assimilera toujours les éléments d'un terme à des chiffres
 - On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le parsing
 - $L \to L'$ signifie que $L$ est dérivée en $L'$ par désintégration audioactive
     - On note aussi $L \to L' \to L'' \to \cdots$ pour $L \to L'$ et $L' \to L''$ et $L'' \to \cdots$
 - $L_{n}$ est le $n^{\text{ème}}$ *descendant* de $L$ (le résultat de $n$ dérivations de $L$)
     - évidemment : $L_0 = L$ et $L_{n} \to L_{n+1}$
     - i on peut noter $L \overset{n}{\to} L_{n}$
 - On utilise $[$ et $]$ pour dénoter la "véritable fin" des morceaux de termes (des sous-suites consécutives d'un terme)
     - = $[11222$ correspond à $\cdots 11 222$
 - On utilise les puissances pour la répétition
     - = $3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111$
     - i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, $11111$ ne sera jamais noté comme $1^{2}1^{3}$)
 - $X$ désigne un chiffre arbitraire (non nul)
     - = $X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ correspond à $[a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$
     - = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0}$ correspond à $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]$
 - $\neq n$ désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que $n$
     - = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0}$ signifie $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ suivi d'au moins un autre chiffre
     - = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0}$ signifie que ce dernier chiffre n'est pas un $2$

 - = $n^{n}] \overset{(n\neq 2)}{\to} n^{\neq n}] \to n'$ 

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Pour une étape :
> $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
> Il est évident que :
> $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$
>  - dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands $\alpha, \beta, \gamma, \delta\dots$ possibles

## 1	Atomes

> [!definition] Découpage
> Parfois, une chaîne $LR$ est telle que les descendants de $L$ et de $R$ n'interferent jamais l'un avec l'autre, c'est-à-dire que :
> $\forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n}$
> On dit alors que $LR$ se **découpe** en $L . R$
>  - i Il est évident que cela arrive lorsque le dernier chiffre de $L_{n}$ est toujours différent du premier chiffre de $R_{n}$ (ou bien quand l'une des deux est vide)
> ---
>  - def On appelle **trivial** un découpage du type $[\;].L$ ou $L.[\;]$

> [!definition] Atome
> Les **atomes** (ou *éléments*) sont les chaînes qui ne possèdent pas de découpage non trivial.
> - source:: [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=181&selection=221,11,241,7&color=note|(John Horton Conway, 1987)]]

 - i toute chaîne est **composée** d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne **comprends** lesdits éléments.
     - source:: [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=181&selection=243,5,260,9&color=note|(John Horton Conway, 1987)]]

![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=183&rect=15,26,369,536&color=note|(John Horton Conway, 1987)]]
![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=184&rect=15,30,372,536&color=note|(John Horton Conway, 1987)]]

## Théorèmes

> [!proposition]+ Théorème du jour 1
> Les  de type $,ax,bx,x^{\geq 4}$ et $x^{3}y^{3}$ 


# Exemples