up:: [[bijection]], [[groupe]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] 
> Soient $E$ et $F$ deux ensembles.
> On note $\mathrm{Bij}(E, F)$ l'ensemble des [[bijection|bijections]] de $E \to F$.
> Il forme un [[groupe]] avec la [[composition de fonctions|composition]] $\circ$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Groupe des bijections
> Soit $E$ un ensemble
> L'ensemble des bijections de $E \to E$, c'est-à-dire $\mathrm{Bij}(E) = \mathrm{Bij(E, E)}$
> est un [[groupe]] avec la [[composition de fonctions]]
> $$\boxed{(\mathrm{Bij}(E), \circ) \quad \text{est un groupe}}$$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On note $B = \operatorname{Bij}(E)$
> > - La loi $\circ$ est stable sur $B$
> > En effet, on sait que la composée de deux [[bijection|bijections]] est aussi une bijection.
> > - $\mathrm{id}$ est l'élément neutre du groupe des bijections
> > En effet, $\mathrm{id}$ est une bijection, donc $\mathrm{id} \in B$
> > $\forall f \in B,\quad \mathrm{id} \circ f = f \circ \mathrm{id} = f$ par définition de $\mathrm{id}$
> > Donc $\mathrm{id}$ est bien le neutre de $B$
> > - Tout élément de $B$ possède un inverse par $\circ$ dans $B$
> > Soit $f \in B$, on sait que $f$ possède toujours une [[application réciproque]], puisque $f$ est une [[bijection]]. Et on sait que cette application réciproque $f^{-1}$ est aussi une bijection, et donc que $f^{-1} \in B$.
> > Or, on a bien $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}$ puisque $f$ et $f ^{-1}$ sont des bijections.
> > Donc, tout élément $f \in B$ possède un inverse $f^{-1} \in B$ pour la loi $\circ$
> > - La loi $\circ$ est associative sur $B$
> > Soient $f, g, h \in B$
> > $\begin{align} \forall e \in E,\quad ((f \circ g) \circ h)(e) &= (f \circ g)(h(e)) \\&= f(g(h(e))) \\&= f((g \circ h)(e)) \\&= (f \circ (g \circ h))(e) \end{align}$
> > Donc, $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$
> > Autrement dit, $\circ$ est associative sur $B$
> > 
> > De là suit que $(B, \circ) = (\operatorname{Bij}(E), \circ)$ est bien un groupe.
^groupe-bijections


# Exemples