up:: [[statistiques indices de dispersion]]
#s/maths/statistiques 

> [!definition] Définition
> Soit $X$ une [[variable aléatoire réelle]]
> On note $V(X)$ la **variance** de $X$ :
> $\begin{align} V(X) &:= \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X))^{2}) \\&= \mathbb{E}(X^{2}) - \mathbb{E}(X)^{2} & \text{(formule de cunning)} \end{align}$
^definition

> [!definition] Variance
> Soit $X$ une [[variable aléatoire]]
> On note $V(X)$ la **variance** de $X$ :
> $V(X) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i} \big( n_{i} (x_{i} - \overline{X})^{2} \big) = \overline{X^{2}} -\overline{X}^{2}$
> La moyenne des carrés des écart à la moyenne

> [!definition] Variance - APL
> `((+/÷≢)2*⍨⊢-(+/÷≢))`

# Propriétés

- $V(aX + b) = a^{2}V(X)$

> [!proposition]+ variance d'une somme
> Soient $X_1, \dots, X_{n}$ des [[variable aléatoire réelle|variables aléatoires réelles]] de $L^{2}$ avec $n \geq 1$
> $\boxed{\mathbb{V}\left( \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \mathbb{V}(X_{i}) + 2 \sum\limits_{1 \leq i < j \leq n} \operatorname{cov}(X_{i}, X_{j})}$
> En particulier, si $X_1, \dots, X_{n}$ sont 2 à 2 [[covariance#^corellation|corellées]] (par exemple si elles sont indépendantes) :
> $\mathbb{V}\left( \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \mathbb{V}(X_{i})$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $\begin{align} \mathbb{V}\left( \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i} \right) &= \operatorname{cov}\left( \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i}, \sum\limits_{j = 1} ^{n} X_{j} \right) \\&= \sum\limits_{i = 1}^{n} \sum\limits_{j = 1}^{n} \operatorname{cov}(X_{i}, X_{j}) \\&= \sum\limits_{i = 1}^{n} \mathbb{V}(X_{i}) + \sum\limits_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n \\ i \neq j}} \operatorname{cov(X_{i}, X_{j})} \\&= \sum\limits_{i = 1}^{n} \mathbb{V}(X_{i}) + 2 \sum\limits_{1 \leq i < j \leq n} \operatorname{cov}(X_{i}, X_{j}) \end{align}$

> [!proposition]+ Variance d'une moyenne
> Soient $X_1, X_{2}, \dots$ des v.a.r. **indépendantes toutes de même loi** dans $L^{2}$
> On pose $\overline{X_{n}} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i}$ 
> Alors :
> $\boxed{\mathbb{V}(\overline{X_{n}}) = \frac{1}{n} \mathbb{V}(X_1)}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $\begin{align} \mathbb{V}(\overline{X_{n}}) &= \frac{1}{n^{2}} \mathbb{V}\left( \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i} \right) \\&= \frac{1}{n^{2}} \sum\limits_{i = 1}^{n} \underbrace{\mathbb{V}(X_{i})}_{\substack{=\mathbb{V}(X_{1}) \\ \text{ car même loi}}} & \text{par indépendance des } X_{i} \\&= \frac{1}{n^{2}} \cdot n \mathbb{V}(X_{1}) \\&= \frac{1}{n} \mathbb{V}(X_1) \end{align}$

# Exemples

> [!example] Exemple : [[lois de Poisson]]
> Soit $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda \geq 0$
> on a vu que $\mathbb{E}(X) = \lambda$
> $\vdots$