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- suite look-and-say
- audioactive decay
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Désintégration audioactive
Oscar Plaisant
Pour le module Mathématiques pour non spécialistes
# Introduction
La *désintégration audioactive* (aussi appellée *suite* look-and-say, ou *suite de Conway*) est une suite d'entiers strictement positifs. Elle à notamment été étudiée par John H. Conway, bien qu'elle n'aie pas été décrite d'abord par lui (elle lui à été présentée par un étudiant, comme il l'indique dans une interview publiée en 2024 : [Look-and-Say Numbers (feat John Conway) - Numberphile](https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA)).
Son principe est assez simple : étant donné un nombre, on produit le suivant en "lisant" le précédent. Par exemple "11" se lit "deux uns" ce qui donne "21" ; à son tour "21" se lit "un deux, un un" soit "1211" et ainsi de suite :
- $1 \longrightarrow \text{un } 1$
- $11 \longrightarrow \text{deux }1$
- ${\color{#FCD600}2\color{#368CF3}1} \longrightarrow {\color{#FCD600}\text{un }2},\quad {\color{#368CF3}\text{un }1}$
- ${\color{#FCD600}1\color{#368CF3}2\color{#1B9419}11} \longrightarrow {\color{#FCD600}\text{un }1},\quad {\color{#368CF3}\text{un }2},\quad {\color{#1B9419}\text{deux }2}$
- $\underline{111\!}\,221 \longrightarrow \underline{\text{trois }1},\quad \text{deux }2,\quad \text{un } 1$
- $312211$
- $13112221$
- $1113213211$
La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
Dans ce document, nous démontreront certaines propriétés de cette suite. La complexité de quelques unes d'entre elles, comparée à la simplicité de la définition, consitue un exemple.
# Notations
- Comme les éléments de la suite sont plutôt des suites finies de chiffres que des nombres uniques, on appellera **chaine** un terme de la suite.
- On assimilera toujours les éléments d'une chaine à des chiffres strictement positifs. Le théorème du jour 2 explicitera pourquoi $0$ et les nombres supérieurs à 10 n'ont pas d'intérêt particulier.
- On se permettra de confondre **chaine** et **sous-chaine** (sous-ensemble de chiffres consécutifs d'une chaine) lorsque l'on traitera de propriétés locales.
- On appellera **dérivation** le fait d'appliquer la règle de passage d'une chaine à la suivante.
- $L \longrightarrow L'$ signifie que $L$ dérive en $L'$ par désintégration audioactive
- On note aussi $L \longrightarrow L' \longrightarrow L'' \longrightarrow \cdots$ pour $L \longrightarrow L'$ et $L' \longrightarrow L''$ et $L'' \longrightarrow \cdots$
- On peut ajouter une condition : $L \xrightarrow{n\neq 2} L'$ signifie que $L$ dérive en $L'$ si $n \neq 2$.
- $L_{n}$ est le $n^{\text{ème}}$ *descendant* de $L$ (le résultat de $n$ dérivations de $L$)
- évidemment : $L_0 = L$ et $L_{n} \longrightarrow L_{n+1}$
- i on peut noter $L \xrightarrow{n} L_{n}$
- On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le **parsing**, c'est-à-dire la bonne manière de lire la chaîne
- = $\dots 233 \dots \longrightarrow \dots ,12,23, \dots$ mais $122111 \centernot{\longrightarrow} \dots ,12,23,1\dots$ même si $122111 \longrightarrow \dots 12231 \dots$
- On utilise $[$ et $]$ pour dénoter le *véritable début* et la *véritable fin* des sous-chaines
- = $[11222$ correspond à $11 222\cdots$ autrement dit, la chaine continue potentiellement à droite, mais pas à gauche
- On utilise les puissances pour la répétition
- = $3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111$
- i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, $11111$ ne sera jamais noté comme $1^{2}1^{3}$) (cela est important pour les premiers théorèmes)
- $X$ désigne un chiffre arbitraire (non nul)
- i si on écrit $[a^{\alpha}X^{\beta}$, on suppose que $a \neq X$ et que la suite de la chaine (s'il y en a une) n'est pas directement un $X$.
- = $X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ correspond à $[a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$
- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0}$ correspond à $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]$
- = $2^{2}X^{2}$ correspond à l'une des chaines : $2^{2}1^{2},\quad 2^{2}3^{2},\quad 2^{2}4^{2},\quad 2^{2}5^{2}, \dots$ (mais pas à $2^{2}2^{2} = 2^{4}$)
- = $2^{X}$ correspond à l'une des chaines : $2,\quad 2^{2},\quad 2^{3},\quad 2^{4}, \dots$ (mais ne peut pas être vide)
- $\neq n$ désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que $n$
- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0}$ signifie $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ suivi d'au moins un autre chiffre
- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0}$ signifie que ce dernier chiffre n'est pas un $2$
- = $n^{n}] \overset{(n\neq 2)}{\longrightarrow} n^{\neq n}] \to n'$
- On utilisera des analogies temporelles pour désigner le nombre de dérivations :
- "après 1 jour" pour "après une dérivation"
- "chaine âgée d'au moins 2 jour" pour "chaine issue de 2 dérivations successives"
- "après un certain temps" pour "après un certain nombre de dérivations"
- On notera $E_{n}$ l'élément de numéro $n$ (voir le [[désintégration audioactive#^liste-elements|tableau des éléments]])
# Propriétés
> [!proposition]+ conséquence du regroupement
> Pour une étape :
> $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
> Il est évident que :
> $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$
> - dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands $\alpha, \beta, \gamma, \delta\dots$ possibles
^regroupement
## Atomes
> [!definition] Découpage
> Parfois, une chaîne $LR$ est telle que les descendants de $L$ et de $R$ n'interferent jamais l'un avec l'autre, c'est-à-dire que :
> $\forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n}$
> On dit alors que $LR$ se **découpe** en $L . R$
> - i on note alors $L \cdot R$
> - i Il est évident que cela arrive lorsque le dernier chiffre de $L_{n}$ est toujours différent du premier chiffre de $R_{n}$ (ou bien quand l'une des deux est vide)
> ---
> - def On appelle **trivial** un découpage du type $[\;]\cdot L$ ou $L\cdot [\;]$
^def-decoupage
> [!definition] Atome
> Les **atomes** (ou *éléments*) sont les chaînes qui ne possèdent pas de [[désintégration audioactive#^def-decoupage|découpage]] non trivial.
^def-atome
- i toute chaîne est **composée** d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne **comprends** lesdits éléments.
## Théorèmes préliminaires
> [!proposition]+ Théorème du jour 1
> Les morceaux de type :
> 1. $,ax,bx,$
> 2. $x^{\geq 4}$
> 3. $x^{3}y^{3}$
>
> n'apparaîssent pas dans les chaînes agées d'un jour ou plus.
> > [!démonstration]- Démonstration
> > 1. $,ax,bx,$
> > - ! ce premier morceau à un parsing donné
> > La première possibilité doit venir de $x^{a}x^{b}$ qui aurait du être écrit $x^{a+b}$ dans la chaîne du jour précédent.
> > 2. $x^{\geq 4}$ soit $x^{n}$ pour $n \geq 4$
> > On peut parser cette expression de plusieurs manières.
> > - si $n$ est pair :
> > $,\underbrace{xx,xx,\dots,x x}_{\frac{n}{2} \text{ répétitions}},$ et au minimum $,xx,xx,$ pour $n = 4$. Il est évident que, dans ce cas, la dérivation ne peut pas donner cela puisque l'on aurait du regrouper tous ces $x$ : $x^{2\times x}$ n'est pas dérivé en $xx,xx$ mais en $(2\times x)x$
> > L'autre parsing possible est $x,\underbrace{xx, \dots, xx}_{\frac{n}{2}-1 \text{ répétitions}},x$ ce qui donne, à nouveau, le même résultat : $,x,x^{k},x,$ n'aurait pas du être dérivé ainsi, mais en $(k+2)x$
> > - si $n$ est impair : ($n\geq 5$)
> > A nouveau, ni $,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x,$ ni $[x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}},$ ne sont des dérivations correctes
> > 2. $x^{3}y^{3}$
> > Encore une fois, considérons les parsing possibles :
> > - $,xx,xy,yy,$ ne peut pas exister, puisque $,xy,yy,$ aurait du être dérivé en un $,ky,$
> > - $[x,xx,yy,y]$ ne peut pas exister puisque $\alpha x,x x$ aurait du être dérivé en $(\alpha+x) x$
> > Cela montre bien qu'aucune de ces formes ne peut exister après dérivation.
^thm-jour-1
> [!proposition]+ Théorème du jour 2
> - Aucun chiffre $\geq 4$ ne peut apparaître au jour 2 ou ensuite (sauf conservation d'un chiffre qui était déjà présent).
> - Un morceau $3 X 3$ (en particulier $3^{3}$) ne peut pas apparaître dans aucune chaîne âgée d'au moins 2 jours.
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - Un chiffre $\geq 4$ devrait venir d'un $x^{\geq 4}$, on on sait par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|Théorème du jour 1]] qu'un tel $x^{\geq 4}$ ne peut pas apparaître, ce qui montre bien qu'un chiffre $\geq 4$ ne peut pas apparaître après le jour 2
> > - i un chiffre $k>1$ quelconque peut apparaître au jour 1 si la chaîne de départ contient $,x^{k},$ puisque $,x^{k}, \to ,kx,$
> > - Un morceau $3X 3$ ne peut pas être parsé comme $3,x 3, y$ puisque l'on aurait alors $,\alpha 3, x 3, y$ mais cela ne peut pas être le résultat d'une dérivation (puisque la dérivation ne peut pas donner $,\alpha 3,x 3,$)
> > On doit donc nécessairement parser $3X 3$ comme $,3x,3y,$. Pour obtenir $,3x,3y,$, on doit avoir obtenu $x^{3}y^{3}$ au jour précédent, ce qui est impossible dès le jour 1 (par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|Théorème du jour 1]]). Cela montre bien que $3X 3$ est impossible dès le jour 2.
^thm-jour-2
> [!proposition]+ Théorème du début
> Soit $R$ un morceau d'une chaîne âgée de 2 jours ou plus.
> Le début de ses descendants finira toujours par se constituer en l'un des cycles suivants :
> - $\overparen{[ \; ]} \longrightarrow [\;] \longrightarrow [\;] \longrightarrow \cdots$
> - $\overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow$
> - $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
> - $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Explorons les valeurs possibles de $R$ en supposant que $R$ est âgée de 2 jours ou plus, et ne commence pas par $2^{2}$.
> > Eliminons à chaque fois les valeurs impossibles (notamment en utilisant les théorèmes [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|du jour 1]] et [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|du jour 2]]) :
> > - Si $R$ commence par $1$
> > - Si $R$ commence par $1^{1}$
> > - c $[1^{1}]$ impossible car ne peut pas être dérivé
> > - p $[1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1} \leftarrow [(\neq X)^{X}$ car $X^{X} \longrightarrow XX \longrightarrow 2X$
> > - down $[1^{1}X^{2}$ se divise en plusieurs cas, le seul possible étant $[1^{1}2^{2}$
> > - right $[1^{1}1^{2} = [1^{3}$ que l'on traitera plus tard
> > - p $[1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{2}(\neq X)^{X}$
> > - c $[1^{1}3^{2} \longleftarrow [3^{1}X^{3} = [3X,XX,$ impossible car de la forme $,aX,bX,$ ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
> > - c $[1^{1}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [(\geq 4)^{1}X^{\geq 4}$ impossible au [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|jour 1]]
> > - c $[1^{1}X^{3} = [1X,XX,$ impossible car de la forme $,aX,bX,$ ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
> > - c $[1^{1}X^{n\geq 4}$ impossible puisque $X^{n\geq 4}$ est impossible dès le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|jour 1]]
> > - Si $R$ commence par $1^{2}$ on $R= [1^{2}2^{\leq 3}$
> > - right $[1^{2}1^{1} = [1^{3}$
> > - c $[1^{2}1^{\geq2} = [1^{\geq 4}$ impossible
> > - p $[1^{2}2^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{1}n^{X}$
> > - p $[1^{2}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}$
> > - p $[1^{2}2^{3} \longleftarrow [1^{1}2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}n^{X}$
> > - c $[1^{2}2^{\geq 4}$ impossible
> > - c $[1^{2}3^{n \geq 1} \longleftarrow [1^{1}n^{3}$ impossible car $,1X,XX,$ est impossible
> > - c $[1^{2}(X\geq 4)$ impossible par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|théorème du jour 2]]
> > - Si $R$ commence par $1^{3}$ on a $R = [1^{3}X^{1} \text{ ou } [1^{3}2^{2}$
> > - p $[1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}$
> > - p $[1^{3}2^{2}$
> > - $[1^{3}1^{2}$ est évidemment exclus
> > - p $[1^{3}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{X}$
> > - c $[1^{3}2^{3} = [11,12,22$ impossible
> > - c $[1^{3}2^{\geq 4}$ impossible
> > - c $[1^{3}X^{3}=[11,1X,XX$ impossible
> > - Si $R$ commence par $2$ alors $R= [2^{1}X^{\leq 2}$
> > - down $[2^{1}X$ considérons les différentes possibilités :
> > - p $[2^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{2} \longleftarrow [X^{X}$
> > - p $[2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}XY \longleftarrow [X^{2}Y^{X}$
> > - c $[2^{1}X^{\geq 3} = [2X,XX, \dots$ impossible
> > - c $[2^{2}$ impossible par supposition car commencerait par $[22$
> > - p $[2^{3} \longleftarrow [2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{2}X^{X}$
> > - c $[2^{\geq 4}$ évidemment
> > - Si $R$ commence par $3$ alors $R =[3^{\leq 2}(\leq 2)^{2} \text{ ou } [3^{2}(\leq 2)^{1} \text{ ou } [3^{3}(\leq 2)^{3}$
> > - p $[3^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{3}$
> > - p $[3^{1}(\leq 2)^{2}$ puisque :
> > - p $[3^{1}1^{2}X \longleftarrow [1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1}$
> > - p $[3^{1}2^{2}X \longleftarrow [2^{3}X^{2}$ possible si $X \neq 2$
> > - c $[3^{1}(\geq 3)^{2}$ puisque:
> > - c $[3^{1}3^{2}=[3^{3}$ impossible
> > - c $[3^{1}(\geq 4)^{2} =[34,4\cdots$ impossible car $4$ ne peut pas apparaître
> > - c $[3^{1}X^{3} = [3X,XX$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
> > - p $[3^{2}(\leq 2)^1 \longleftarrow [3^{3}X^{\leq 2} \longleftarrow [3^{3}X^{3}$
> > - c $[3^{2}(\geq 3)^{1} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 3} = [33,3X,XX,\dots$ impossible
> > - p $[3^{2}(\leq 2)^{2}$ puisque :
> > - p $[3^{2}1^{2} \longleftarrow [3^{3}1^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}$
> > - p $[3^{2}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{3}X^{2}$
> > - c $[3^{2} (\geq 3)^{2}$ puisque :
> > - c $[3^{2}3^{2} = [3^{4}$ impossible
> > - c $[3^{2}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 4}$ impossible
> > - p $[3^{2}(\leq 2)^{3}$ puisque :
> > - p $[3^{2}1^{3} \longleftarrow [3^{3}1^{1}X^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}$
> > - p $[3^{2}2^{3} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2}n^{X}$
> > - c $[3^{2}(\geq 3)^{3}$ puisque :
> > - c $[3^{2}3^{3} = [3^{5}$
> > - c $[3^{2}(\geq 4)^{3} \longleftarrow [3^{3}(\geq 4)^{(\geq 4)}X^{(\geq 4)}$ impossible
> > - c $[3^{3}$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-2|théorème du jour 2]])
> > - down Si $R$ commence par un $n > 3$
> > - c $[(\geq 4)^{1} \leftarrow [X^{\geq 4}$ impossible
> > - c $[(\geq 4)^{2} \leftarrow [n^{n}$ pour $n \geq 4$ : impossible
> > - c de même pour tous les $[(\geq 4)^{\geq 3} \longleftarrow [n^{n}$ avec $n \geq 4$
> >
> > L'ensemble des possibilités se résume donc à :
> > - $[1^{1}] = [1^{1}X^{0}$
> > - $[1^{1}X^{1}$
> > - $[1^{1}2^{2}$
> > - $[1^{2}2^{\leq 3}$
> > - $[1^{3}X^{1}$ ou, plus généralement $[1^{3}$
> > - $[1^{3}2^{2}$ ou, plus généralement $[1^{3}$
> > - $[2^{1}X^{\leq 2}$
> > - $[2^{3}$
> > - $[3^{1}X^{1}$ que l'on restreint à $[3^{1}(\neq 1)^{1}$ pour éviter la superposition avec un autre cas
> > - $[3^{1}(\leq 2)^{2}$
> > - $[3^{2}(\leq 2)^{\leq 3}$ qui est l'une de ces deux possibilités :
> > - $[3^{2}1^{\leq 3}$
> > - $[3^{2}2^{\leq 3}$
> > - $[n^{1}$
> >
> > De là, on observe que toutes les possibilités convergent vers l'un des cycles donnés :
> > ![[ demo_théorème_du_début.excalidraw|560]]
> >
> > Par ailleurs, si $R$ commence par $[22$ :
> > - si $R = [22]$ la preuve est triviale
> > - sinon on considère un $R'$ tel que $R = [22 \cdot R'$, et on utilise l'argument précédent pour montrer que $R'$ arrive sur le cycle $[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}$
> > ---
> >
> > On peut modifier cette liste :
> > - en assimilant $[3^{1}X^{1}$ et $[3^{1}(\leq 2)^{2}$ aux deux cas $[3^{1}X^{3}$, $[3^{1}X^{\leq 2}$
> > - en assimilant $[3^{2}(\leq 2)^{\leq 3}$ aux cas $[3^{2}X^{3}$, $[3^{2}X^{\leq 2}$
> > - en assimilant $[1^{3}2^{2}$ et $[1^{3}X^{1}$ au seul cas $[1^{3}$
> > - en assimilant $[1^{2}2^{\leq 3}$ à $[1^{2}X^{1}$ (qui est déjà listé) et $[1^{2}X^{\neq 1}$
> > - en séparant $[2^{1} X^{\leq 2}$ en $[2^{1}X^{2}$ et $[2^{1}X^{\neq 2}$
> > - en ajoutant $[1^{1}3^{2}$
> > Cela nous donne la liste suivante :
> > - $[1^{1}] = [1^{1}X^{0}$
> > - $[1^{1}X^{1}$
> > - $[1^{2}X^{1}$
> > - $[1^{1}2^{2}$
> > - $[1^{1}3^{2}$
> > - $[1^{2}X^{\neq 1}$
> > - $[1^{3}$
> > - $[2^{1}X^{2}$
> > - $[2^{1}X^{\neq 2}$
> > - $[2^{3}$
> > - $[3^{1}X^{3}$
> > - $[3^{1}X^{\leq 2}$
> > - $[3^{2}X^{3}$
> > - $[3^{2}X^{\leq 2}$
> > - $[n^{1}$
> >
> > Cela nous permet d'atteindre le schéma original de Conway :
> > ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=186&rect=12,345,377,408&width=800|schéma original de Conway p.186]]
^theoreme-debut
> [!proposition]+ théorème de découpage
> Une chaîne $LR$ âgée de 2 jours ou plus se découpe en $L \cdot R$ seulement dans ces cas :
>
> | L | R |
> | --------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- |
> | $n]$ | $[m$ |
> | $2]$ | $[1^1X^1$ ou $[1^{3}$ ou $[3^{1}X^{\neq 3}$ ou $[n^{1}$ |
> | $\neq 2]$ | $[2^{2} 1^{1}X^{1}$ ou $[2^{2}1^{3}$ ou $[2^{2}3^{1}X\neq 3$ ou $[2^{2}n^{(0 \text{ ou } 1)}$ |
> avec $n \geq 4$ et $m \leq 3$
> ou bien quand l'un des deux est vide ($L = [\;\;]$ ou $R = [\;\;]$, découpages triviaux)
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Cela suit directement du [[désintégration audioactive#^theoreme-debut|téorème du début]] appliqué à $R$, et du fait que le dernier chiffre de $L$ est constant
^theoreme-decoupage
^theoreme-de-decoupage
> [!proposition]+ Théorème de la fin
> La fin d'une chaîne finit toujours par atteindre l'un de ces cycles :
> ![[attachments/désintégration audioactive théorème de la fin cycles.excalidraw|950]]
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - Une chaîne se terminant par $1$ apparaîtra nécessairement dans cette suite de dérivations (en effet, tous les cas de chaîne finissant par $1$ y sont présents) :
> > $1^{\geq 3}] \longrightarrow \underbrace{(\neq 2)^{X}1^{1}]}_{\mathclap{\text{plus général que }(\geq 3)^{X}1^{1}]}} \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{2}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}2^{1}1^{1}] \longrightarrow \underbrace{2^{X\neq 2}1^{2}]}_{\mathclap{\text{fin de }(\neq 2)^{X}1^{1}2^{1}1^{2}]}} \longrightarrow 2^{2}1^{1}] \longrightarrow 2^{2}1^{2}] \longrightarrow 2^{3}1^{1}]$
> > Ce qui montre que toute chaîne se terminant par $1$ finit par atteindre une chaîne se terminant par $2^{3}1^{1}]$.
> > De là, en dérivant cette fin plusieurs fois, on obtient successivement :
> > - $\underbrace{(\neq 2)222}_{\hspace{-13ex}\mathrlap{\text{Par le thm. du jour 2}}}1]$
> > - $3211]$
> > - $31221]$
> > - $3112211]$
> > - $3212221]$
> > - $312113211]$
> > - $3111221131221]$
> > - $\underbrace{(\neq 3)33}_{\hspace{-5em}\mathrlap{\text{Par le thm. du jour 2}}}1222113112211]$
> > - $2\cdot \underbrace{\overbracket{\color{#FCD600}311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FCD600}322113212221]}_{\text{cycle }(1)}$
> > - $2\cdot \color{#FCD600}13211322211312113211]$
> > - $2\cdot \color{#FCD600}1113122113322113111221131221]$
> > - $2 \cdot 311311222\cdot \overbracket{\color{#FCD600}12}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}}\color{#FCD600}322211331222113112211]$
> > - $2\cdot 1321132132\cdot \overbracket{111}^{[1^{3}}2133\cdot \overbracket{2212}^{\mathclap{[2^{2}1^{1}X^{1}}}\cdot \underbrace{\overbracket{\color{#FCD600}311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FCD600}322113212221]}_{\text{cycle } (1)}$
> > - $2\cdot \overbracket{311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}}2112\cdot \overbracket{3\cdot \underbracket{22}_{\mathclap{[2^{2}1^{3}]}}}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}} 1112\cdot \overbracket{13}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}}211322211312113211$
> > - $2\cdot \overbracket{13}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}}21122112\cdot \overbracket{13}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}}22\cdot \overbracket{311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq_3}}}2\cdot \overbracket{\color{#FCD600}111}^{[1^{3}}\color{#FCD600}3122113322113111221131221$
> > - $2\cdot \overbracket{2213}^{\mathclap{[2^{2}1^{1}X^{1}}}2112\cdot \overbracket{311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}}311222\cdot \overbracket{12}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}}322211331222113112211$
> > - $2\cdot 1321132132\cdot \overbracket{111}^{[1^{3}}2133\cdot22\cdot \overbracket{\color{crimson}\underset{\ce{Ca}}{12}}^{\mathclap{[1^{1} X^{1}}}\cdot \overbracket{\color{#FCD600}311}^{\mathrlap{\hspace{-3ex}[3^{1}X^{\neq 3}}\hspace{-3ex}}\color{#FCD600}322113212221$
> >
> >
> > Ce qui montre bien que toute chaîne qui termine par $1$ finit par atteindre le cycle $(1)$.
> >
> > - Une chaîne se terminant par $n > 1$ sera dans cette suite de dérivations :
> > ![[désintégration audioactive théorème de la fin.excalidraw|950]]
> > Pour les cas différents de $2^{2}]$, on obtient cette suite de dérivations :
> > - $2211n]$
> > - $(\neq 2)2211n]$
> > - $(\neq 2)22211n]$
> > - $32211n]$
> > - $322211n]$
> > - $\underbrace{(\neq 3)33}_{\hspace{-5em}\mathrlap{\text{Par le thm. du jour 2}}}2211n]$
> > - $2322211n]$
> > - $21332211n]$
> > - $2112322211n]$
> > - $221121332211n]$
> > - $22112112322211n]$
> > - $2211221121332211n]$
> > - $221222112112322211n]$
> > - $21132211221121332211n]$
> > - $221132221222112112322211n]$
> > - $22113321132211221121332211n]$
> > - $22\cdot \overbracket{12}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot \overbracket{31}^{\hspace{-4ex}\mathrlap{[3^{1}X^{\neq 3}}}221132221222112112322211n]$
> > - $2\cdot \underbrace{\color{#FDC600}1311222113321132211221121332211n]}_{\text{cycle } (2)}$
> > - $2 \cdot \overbracket{111}^{\mathclap{[1^{3}}}32 \cdot \overbracket{13}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot 22 \cdot \overbracket{\color{crimson}\underset{\ce{Ca}}{12}}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot \overbracket{\color{#FDC600}31}^{\hspace{-4ex}\mathrlap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FDC600}221132221222112112322211n]$
> > - $2\cdot \underbrace{\color{#FDC600}1311222113321132211221121332211n]}_{\text{cycle } (2)}$
> >
> > Ainsi, toutes les chaînes qui se terminent par $n>1$ finissent par arriver soit au cycle $(2)$, soit au cycle $(3)$
> >
> > On a bien démontré que toute chaîne finit par atteindre l'un des 3 cycles décrits.
^theoreme-fin
## Éléments
Avant de continuer, il est nécessaire de poser une liste particulières de 92 atomes.
On a défini plus tôt ce qu'était un [[désintégration audioactive#^def-atome|atome]].
On peut alors décrire 92 atomes. Il est trivial de montrer que chacune de ces 92 chaînes est bien un atome (à l'aide du [[désintégration audioactive#^theoreme-de-decoupage|théorème de découpage]]).
Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fait bien 92 éléments).
> [!info]- Liste des éléments
> | $n$ | nom | éléments dans la dérivée | chaîne | dérivée |
> | ------- | --- | ---------------- | ------------------------------------------ | ---------------------------------------------------- |
> | 1 | H | H (stable) | 22 | 22 |
> | 2 | He | Hf Pa H Ca Li | 13112221133211322112211213322112 | 11132132212312211322212221121123222112 |
> | 3 | Li | He | 312211322212221121123222112 | 13112221133211322112211213322112 |
> | 4 | Be | Ge Ca Li | 111312211312113221133211322112211213322112 | 3113112221131112211322212312211322212221121123222112 |
> | 5 | B | Be | 1321132122211322212221121123222112 | 111312211312113221133211322112211213322112 |
> | 6 | C | B | 3113112211322112211213322112 | 1321132122211322212221121123222112 |
> | 7 | N | C | 111312212221121123222112 | 3113112211322112211213322112 |
> | 8 | O | N | 132112211213322112 | 111312212221121123222112 |
> | 9 | F | O | 31121123222112 | 132112211213322112 |
> | 10 | Ne | F | 111213322112 | 31121123222112 |
> | 11 | Na | Ne | 123222112 | 111213322112 |
> | 12 | Mg | Pm Na | 3113322112 | 132123222112 |
> | 13 | Al | Mg | 1113222112 | 3113322112 |
> | 14 | Si | Al | 1322112 | 1113222112 |
> | 15 | P | Ho Si | 311311222112 | 13211321322112 |
> | 16 | S | P | 1113122112 | 311311222112 |
> | 17 | Cl | S | 132112 | 1113122112 |
> | 18 | Ar | Cl | 3112 | 132112 |
> | 19 | K | Ar | 1112 | 3112 |
> | 20 | Ca | K | 12 | 1112 |
> | 21 | Sc | Ho Pa H Ca Co | 3113112221133112 | 132113213221232112 |
> | 22 | Ti | Sc | 11131221131112 | 3113112221133112 |
> | 23 | V | Ti | 13211312 | 11131221131112 |
> | 24 | Cr | V | 31132 | 13211312 |
> | 25 | Mn | Cr Si | 111311222112 | 311321322112 |
> | 26 | Fe | Mn | 13122112 | 111311222112 |
> | 27 | Co | Fe | 32112 | 13122112 |
> | 28 | Ni | Zn Co | 11133112 | 31232112 |
> | 29 | Cu | Ni | 131112 | 11133112 |
> | 30 | Zn | Cu | 312 | 131112 |
> | 31 | Ga | Eu Ca Ac H Ca Zn | 13221133122211332 | 11132221231132212312 |
> | 32 | Ge | Ho Ga | 31131122211311122113222 | 132113213221133122211332 |
> | 33 | As | Ge Na | 11131221131211322113322112 | 31131122211311122113222123222112 |
> | 34 | Se | As | 13211321222113222112 | 11131221131211322113322112 |
> | 35 | Br | Se | 3113112211322112 | 13211321222113222112 |
> | 36 | Kr | Br | 11131221222112 | 3113112211322112 |
> | 37 | Rb | Kr | 1321122112 | 11131221222112 |
> | 38 | Sr | Rb | 3112112 | 1321122112 |
> | 39 | Y | Sr U | 1112133 | 31121123 |
> | 40 | Zr | Y H Ca Tc | 12322211331222113112211 | 11121332212311322113212221 |
> | 41 | Nb | Er Zr | 1113122113322113111221131221 | 31131122212322211331222113112211 |
> | 42 | Mo | Nb | 13211322211312113211 | 1113122113322113111221131221 |
> | 43 | Tc | Mo | 311322113212221 | 13211322211312113211 |
> | 44 | Ru | Eu Ca Tc | 132211331222113112211 | 111322212311322113212221 |
> | 45 | Rh | Ho Ru | 311311222113111221131221 | 1321132132211331222113112211 |
> | 46 | Pd | Rh | 111312211312113211 | 311311222113111221131221 |
> | 47 | Ag | Pd | 132113212221 | 111312211312113211 |
> | 48 | Cd | Ag | 3113112211 | 132113212221 |
> | 49 | In | Cd | 11131221 | 3113112211 |
> | 50 | Sn | In | 13211 | 11131221 |
> | 51 | Sb | Pm Sn | 3112221 | 13213211 |
> | 52 | Te | Eu Ca Sb | 1322113312211 | 1113222123112221 |
> | 53 | I | Ho Te | 311311222113111221 | 13211321322113312211 |
> | 54 | Xe | I | 11131221131211 | 311311222113111221 |
> | 55 | Cs | Xe | 13211321 | 11131221131211 |
> | 56 | Ba | Cs | 311311 | 13211321 |
> | 57 | La | Ba | 11131 | 311311 |
> | 58 | Ce | La H Ca Co | 1321133112 | 11131221232112 |
> | 59 | Pr | Ce | 31131112 | 1321133112 |
> | 60 | Nd | Pr | 111312 | 31131112 |
> | 61 | Pm | Nd | 132 | 111312 |
> | 62 | Sm | Pm Ca Zn | 311332 | 13212312 |
> | 63 | Eu | Sm | 1113222 | 311332 |
> | 64 | Gd | Eu Ca Co | 13221133112 | 11132221232112 |
> | 65 | Tb | Ho Gd | 3113112221131112 | 132113213221133112 |
> | 66 | Dy | Tb | 111312211312 | 3113112221131112 |
> | 67 | Ho | Dy | 1321132 | 111312211312 |
> | 68 | Er | Ho Pm | 311311222 | 1321132132 |
> | 69 | Tm | Er Ca Co | 11131221133112 | 3113112221232112 |
> | 70 | Yb | Tm | 1321131112 | 11131221133112 |
> | 71 | Lu | Yb | 311312 | 1321131112 |
> | 72 | Hf | Lu | 11132 | 311312 |
> | 73 | Ta | Hf Pa H Ca W | 13112221133211322112211213322113 | 11132132212312211322212221121123222113 |
> | 74 | W | Ta | 312211322212221121123222113 | 13112221133211322112211213322113 |
> | 75 | Re | Ge Ca W | 111312211312113221133211322112211213322113 | 3113112221131112211322212312211322212221121123222113 |
> | 76 | Os | Re | 1321132122211322212221121123222113 | 111312211312113221133211322112211213322113 |
> | 77 | Ir | Os | 3113112211322112211213322113 | 1321132122211322212221121123222113 |
> | 78 | Pt | Ir | 111312212221121123222113 | 3113112211322112211213322113 |
> | 79 | Au | Pt | 132112211213322113 | 111312212221121123222113 |
> | 80 | Hg | Au | 31121123222113 | 132112211213322113 |
> | 81 | Tl | Hg | 111213322113 | 31121123222113 |
> | 82 | Pb | Tl | 123222113 | 111213322113 |
> | 83 | Bi | Pm Pb | 3113322113 | 132123222113 |
> | 84 | Po | Bi | 1113222113 | 3113322113 |
> | 85 | At | Po | 1322113 | 1113222113 |
> | 86 | Rn | Ho At | 311311222113 | 13211321322113 |
> | 87 | Fr | Rn | 1113122113 | 311311222113 |
> | 88 | Ra | Fr | 132113 | 1113122113 |
> | 89 | Ac | Ra | 3113 | 132113 |
> | 90 | Th | Ac | 1113 | 3113 |
> | 91 | Pa | Th | 13 | 1113 |
> | 92 | U | Pa | 3 | 13 |
^liste-elements
On notera $E_{n}$ l'élément de numéro $n$ (par exemple, $E_1$ correspond à l'hydrogène, $22$)
## Théorèmes sur les éléments
> [!proposition]+ Théorème chimique
> 1. les descendents de chacun des 92 éléments sont des composés de ces éléments
> Autrement dit : $\forall A \text{ élément},\quad A \longrightarrow X_1\cdot X_2\cdot \cdots \quad \text{ où }X_1,X_2,\dots \text{ sont des éléments}$
> 2. Tous les descendants suffisament âgés de chacun des éléments (autres que l'Hydrogène $22$) contiennent simultanément les 92 éléments.
> Autrement dit : $\forall A \text{ élément},\quad \exists n\in \mathbb{N},\quad A \longrightarrow^{(n)} X \quad \text{où } X \text{ contient tous les 92 éléments}$
> 3. Les descendants de toutes les chaînes autres que $[\;]$ et $[22]$ finissent par contenir les 92 éléments simultanément.
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > 1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations.
> > 2. Cela est également montré par la table des élément.
> > > [!info] Principe de la démonstration :
> > > a. montrer que si un élément apparaît, alors n'importe quel autre élément finira par apparaître
> > > b. montrer que si le Lithium ($Li = E_{3}$) apparaît, alors il finira par être présent dans toutes les chaînes après un certain temps
> > > c. montrer que le Lithium engendre l'Uranium
> > > d. montrer que l'Uranium engendre tous les autres éléments
> > > e. conclure
> >
> > En effet, pour tout $E_{n}$ (pour $n\geq 2$) contient, dans sa chaine dérivée, l'élément $E_{n-1}$.
> > Pour plus de clarté, on utilisera la notation $E_{n} \xrightarrow{k} E_{i} \& E_{j} \& \cdots$ au lieu de $\forall C \text{ chaine},\quad \forall t\in \mathbb{N},\quad E_{n} \in C_{t} \implies E_{i} \in C_{t+k} \wedge E_{j}\in C_{t+k}\dots$
> > Ainsi, si l'on considère une chaine $C$ telle que l'élément $E_{n}$ apparaît après $t$ dérivations (dans $C_{t}$), et soit $m\leq n$ on peut affirmer que tous les éléments présents dans la dérivée de l'élément $E_{m}$ (colonne "éléments dans la dérivée", ligne $m$ du tableau) seront présents après $t+n-m$ dérivations (dans $C_{t+n-m}$). Autrement dit : $E_{n} \xrightarrow{n-m} \text{éléments dans la dérivée de }E_{m}$
> > Ainsi on obtient que :
> > - $E_{n} \xrightarrow{n-1} \ce{Hf} \& \ce{Li}$ (dès que $n\geq 2$)
> > - $\begin{cases} \ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li} \\\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li} \end{cases}$ (car $\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$ et car $\ce{Hf} \xrightarrow{69} \ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\& \ce{Li}$)
> > - $\ce{Hf} \xrightarrow{34} \ce{Sr}\& \ce{U}$
> > - $\ce{U} \xrightarrow{92-n} E_{n}$
> > De ces propriétés, on peut déduire que si l'un des éléments (différent de l'Hydrogène) contenu dans une chaîne $C_{t_0}$ à une étape $t_0$, alors :
> > - Un $C_{\leq t_0 + 100}$ contiendra simultanément du Hafnium et du Lithium (la borne de $t_0+100$ n'est pas la plus petite possible mais elle est suffisante)
> > - cela est montré par $E_{n}\xrightarrow{n-1} \ce{Hf}\& \ce{Li}$ pour $n\geq 2$, et par le fait qu'il y à 92 (donc moins de 100) éléments.
> > - Tous les $C_{\geq t_0+ 200}$ contiendront simultanément du Hafnium et du Lithium
> > - on sait déjà qu'un $C_{\leq t_0+100}$ contient simultanément du Hafnium et du Lithium. Comme $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, on sait qu'un descendant sur deux contiendra également du Hafnium et du Lithium, autrement dit : $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k}$. Pour les $t$ pairs, on utilise le fait que $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, ainsi $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k + 71}$. En combinant les deux résultat on a bien la propriété voulue.
> > - Tous les $C_{\geq t_0 + 300}$ contiendront de l'Uranium
> > - Cela découle de deux propriétés déjà montrées : que tous les $C_{\geq t_0 + 200}$ contiennent du Hafnium, et que $\ce{Hf}\xrightarrow{34}\ce{U}$.
> > - Tous les $C_{\geq t_0 + 400}$ contiendront simultanément tous les éléments
> > - $\ce{U} \in C_{t_0+300}$ donc $\ce{Pa} \in C_{t_0+301}$, et même $\ce{U\&}\ce{Pa} \in C_{t_0 + 301}$ par la propriété précédente. Pour les mêmes raison : $\ce{U\&Pa\&Th} \in C_{t_0+302},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac} \in C_{t_0+303},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac\&Ra} \in C_{t_0+303},\dots$ et ainsi de suite.
> > 1. Soit $L$ une chaîne différente de $[\;]$ ou $[22]$.
> > Si $L$ est de la forme $L'2^{2}]$, on considère $L'$ à la place de $L$ (on ignore le $2^{2}]$). On sait que l'on peut faire ce découpage : $(X\neq 2)\cdot 2^{2}] \longrightarrow (X \neq 2)\cdot 2^{2}$.
> > Ainsi, on peut affirmer que $L$ correspond soit au cycle $(1)$, soit au cycle $(2)$ dans le théorème de la fin. En observant la preuve du théorème de la fin, on remarque l'apparition du Calcium (la chaîne $\color{crimson}12$ notée $\ce{Ca}$ et indiquée en rouge) dans les deux cycles, ce qui montre qu'un descendant assez avancé de $L$ contient du Calcium.
> > La propriété 2. permet de conclure.
> [!definition] Chaine commune
> Une **chaine commune** est une chaine exclusivement composée d'éléments.
> [!proposition]+ Théorème arithmétique
> 1. Les longueurs de toutes les chaines communes (autres que les cas triviaux $[\;]$ et $[22]$) augmentent selon une progression géométrique, avec une même raison $\lambda > 1$.
> 2. Les abondances relatives des éléments dans ces chaines convergent vers une valeur fixe, strictement positive pour tous les éléments.
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On note $\operatorname{lg}[L]$ la *longueur* d'une chaine (son nombre de chiffres) et $\operatorname{ne}[L]$ le *nombre d'éléments* (en comptant les doublons) contenus dans une chaine $L$.
> > Par exemple, $\operatorname{lg}[3223] = 4$ et $\operatorname{ne}[3223] = \operatorname{ne}[\ce{U \cdot H \cdot U}] = 3$.
> > Comme tous les éléments ont une comprise entre $1$ et $42$, on peut assimiler la longueur au nombre d'éléments dans le calcul de $\lambda$. Formellement, si $L_0$ est une chaine commune :
> > $\forall n,\quad \operatorname{ne}[L_{n}] \leq \operatorname{lg}[L_{n}] \leq 48 \cdot \operatorname{ne}[L_{n}]$
> > Donc :
> > $\displaystyle\forall n,\quad \frac{\operatorname{ne}[L_{n+1}]}{\operatorname{ne}[L_{n}]} \leq \frac{\operatorname{lg}[L_{n+1}]}{\operatorname{lg}[L_{n}]} \leq \frac{48 \cdot \operatorname{ne}[L_{n+1}]}{48\cdot \operatorname{ne}[L_{n}]}$
> > Ce qui montre bien que $\forall n,\quad \dfrac{\operatorname{lg}[L_{n+1}]}{\operatorname{lg}[L_{n}]} = \dfrac{\operatorname{ne}[L_{n+1}]}{\operatorname{ne}[L_{n}]}$.
> > Or, comme $\lambda$ est l'éventuelle limite de $\dfrac{\operatorname{lg}[L_{n+1}]}{\operatorname{lg}[L_{n}]}$, on pourra aussi bien calculer $\lambda$ en considérant la longueur que le nombre d'éléments.
> >
> > 1. Soit $L_0$ une chaine commune, notons $\#_{E_{k}}[L_0]$ le nombre d'occurences de l'élément $E_{k}$ dans $L_0$.
> > Par exemple $\operatorname{ne}[L_{n}] =\sum\limits_{k=1}^{92} \#_{E_{k}}[L_n]$.
> > Représentons alors $L_{n}$ comme un vecteur de $\mathbb{N}^{92}$ : la $k^{\text{ème}}$ coordonnée sera le nombre d'occurence de $E_{k}$ dans $L_{n}$. On notera $v^{(n)} =\operatorname{vec}[L_{n}] = (\#_{E_1}[L_{n}],\quad \#_{E_2}[L_{n}],\quad \#_{E_{3}}[L_{n}], \dots,\quad \#_{E_{92}}[L_{n}])$.
> > Autrement dit :
> > $\forall k \in [\![ 1; 92]\!],\quad v^{(n)}{}_{k} = \operatorname{vec}[L_{n}]_{k} = \#_{E_{k}}[L_{n}]$
> > $v^{(n)}$ est donc le vecteur comptant les occurences des éléments dans $L_{n}$.
> > Par la propriété 1. du théorème chimique, on sait que cette représentation vectorielle est « suffisante » puisque l'on peut passer de $v^{(n)}$ à $v^{(n+1)}$ en faisant un comptage adéquat de la nouvelle quantité de chaque élément (et cela décrit bien l'entièreté du contenu de $L_{n+1}$) :
> > $\forall k \in [\![1; 92]\!],\quad v^{(n+1)}{}_{k} = \sum\limits_{i=1}^{92}v^{(n)}{}_{k}\cdot\#_{E_{k}}[E_{i}{}']$
> > On remarque que cette formule ressemble à celle qui définit la multiplication d'une matrice par un vecteur :
> > $(v\cdot M)_{k} = \sum\limits_{i} v_{k} \cdot M_{i,k}$
> > En particulier, pour le passage de $v^{(n)}$ à $v^{(n+1)}$, la matrice sera définie par :
> > $\forall i,j \in [\![1, 92]\!],\quad M_{i, j} = \#_{E_j}[E_{i}{}']$ avec $M \in \mathcal{M}_{92}(\mathbb{N})$
> > Ainsi, on obtient $\boxed{v^{(n+1)} = v^{(n)}\cdot M = v^{(0)}\cdot M^{n+1}}$
> > La propriété définissant $\lambda$ peut alors se formuler comme $v^{(0)}\cdot M^{n+1} = \lambda \cdot v^{(0)}\cdot M^{n} \iff v^{(0)} \cdot M = \lambda \cdot v^{(0)}$ (en négligeant les formalismes de passage à la limite). Cela indique que $\lambda$ doit être une valeur propre de $M$.
> > Pour être plus formel, on suppose à l'inverse que $\Lambda$ est une valeur propre de $M$ (celle de plus grand module) correspondant au vecteur propre $v^{p}$. On remarque alors que $v^{p}M^{n}$ est proportionnel à $\Lambda^{n}$ (par définition des valeurs propres), autrement dit $v^{p}M^{n}= \Lambda^{n}\cdot v^{p}$.
> > Le théorème de Perron-Froenbius nous permet d'affirmer que, puisque $M$ est carrée et positive, la valeur propre de plus grand module,$\Lambda$, est positive et unique. De là, on tire le fait que $v^{(0)}M^{n} \leq \Lambda^{n}\cdot v^{p}$.
> > Le théorème chimique permet d'affirmer que, asymptotiquement, la croissance de $(\operatorname{ne}[L_{n}])_{n \in \mathbb{N}}$ sera au moins égale à chacune de celles engendrée par un vecteur contenant un unique élément.
> > Puisque chaque élément engendre tous les autres, et puisque les 92 vecteurs représentant un élément seul forment une base de $\mathbb{N}^{92}$, et par le théorème chimique, on comprend que la croissance limite de raison $\lambda$ sera asymptotiquement atteinte par $(v^{(n)})_{n \in \mathbb{N}}$.
> > Il est évident que $\lambda > 1$ par définition de la suite.
> > Cela montre la propriété recherchée.
> [!proposition]+ Valeur de $\lambda$ et croissance de la suite
> L'annexe 1 fournit le code permettant de calculer une approximation de $\lambda$.
> L'approximation obtenue est $\lambda \approx 1.3035772690343037$
> Il est évident que $\lambda$ est un nombre algébrique de degré $92$. Il se trouve qu'il est même de degré 71 [voir @OpenProblemsCommunication1987 p.188].
> ---
> Puisque la longueur $lg[L_{n}]$ et la valeur de $L_{n}$ en tant que nombre sont reliés par un encadrement logarithmique : $\operatorname{lg}[L_{n}] \leq \log_{10}(L_{n}) < \operatorname{lg}[L_{n}] + 1$, on peut en déduire assez directement que $L_{n} = O(10^{(\lambda^{n})})$
> [!proposition]+ Théorème cosmologique
> Toute chaine (autre que $[\;]$ et $[22]$) finit, après assez de dérivations, par engendrer des chaines communes. Cela permet d'appliquer le théorème chimique à toutes les chaines.
> > [!démonstration]- Démonstration
> > La démonstration serait trop complexe pour le cadre de ce devoir. Conway lui-même ne l'a pas publiée dans son article *The weird and wonderful chemistry of audioactive decay*.
> > Des preuves existent, prenant de l'ordre de 15 pages : [@lairezConwaysCosmologicalTheorem2025],
# Annexes
## Annexe 0 - Au sujet du présent document
Ce document est inspiré de l'article « *The weird and wonderful chemistry of audioactive decay* » [@coverOpenProblemsCommunication1987] de John H. Conway, dont il tire son ordre démonstratif ainsi que certaines notations. Cependant, je ne l'ai pas produit en « fait confiance » à l'article original : j'ai reproduit chacun des calculs explicités, modifié certaines preuves et explicité des points que Conway avait laissé au lecteur.
## Annexe 1 - Code source utilisé pour le calcul
```python
import numpy as np
# Liste de dictionnaires représentant les éléments
ELEMENTS = [{"num": 1, "name": "H", "deriv": ["H"]}, #{{{
{"num": 2, "name": "He", "deriv": ["Hf","Pa","H","Ca","Li"]},
{"num": 3, "name": "Li", "deriv": ["He"]},
{"num": 4, "name": "Be", "deriv": ["Ge","Ca","Li"]},
{"num": 5, "name": "B", "deriv": ["Be"]},
{"num": 6, "name": "C", "deriv": ["B"]},
{"num": 7, "name": "N", "deriv": ["C"]},
{"num": 8, "name": "O", "deriv": ["N"]},
{"num": 9, "name": "F", "deriv": ["O"]},
{"num": 10, "name": "Ne", "deriv": ["F"]},
{"num": 11, "name": "Na", "deriv": ["Ne"]},
{"num": 12, "name": "Mg", "deriv": ["Pm", "Na"]},
{"num": 13, "name": "Al", "deriv": ["Mg"]},
{"num": 14, "name": "Si", "deriv": ["Al"]},
{"num": 15, "name": "P", "deriv": ["Ho", "Si"]},
{"num": 16, "name": "S", "deriv": ["P"]},
{"num": 17, "name": "Cl", "deriv": ["S"]},
{"num": 18, "name": "Ar", "deriv": ["Cl"]},
{"num": 19, "name": "K", "deriv": ["Ar"]},
{"num": 20, "name": "Ca", "deriv": ["K"]},
{"num": 21, "name": "Sc", "deriv": ["Ho", "Pa", "H", "Ca", "Co"]},
{"num": 22, "name": "Ti", "deriv": ["Sc"]},
{"num": 23, "name": "V", "deriv": ["Ti"]},
{"num": 24, "name": "Cr", "deriv": ["V"]},
{"num": 25, "name": "Mn", "deriv": ["Cr", "Si"]},
{"num": 26, "name": "Fe", "deriv": ["Mn"]},
{"num": 27, "name": "Co", "deriv": ["Fe"]},
{"num": 28, "name": "Ni", "deriv": ["Zn", "Co"]},
{"num": 29, "name": "Cu", "deriv": ["Ni"]},
{"num": 30, "name": "Zn", "deriv": ["Cu"]},
{"num": 31, "name": "Ga", "deriv": ["Eu", "Ca","Ac","H","Ca","Zn"]},
{"num": 32, "name": "Ge", "deriv": ["Ho", "Ga"]},
{"num": 33, "name": "As", "deriv": ["Ge", "Na"]},
{"num": 34, "name": "Se", "deriv": ["As"]},
{"num": 35, "name": "Br", "deriv": ["Se"]},
{"num": 36, "name": "Kr", "deriv": ["Br"]},
{"num": 37, "name": "Rb", "deriv": ["Kr"]},
{"num": 38, "name": "Sr", "deriv": ["Rb"]},
{"num": 39, "name": "Y", "deriv": ["Sr", "U"]},
{"num": 40, "name": "Zr", "deriv": ["Y","H","Ca","Tc"]},
{"num": 41, "name": "Nb", "deriv": ["Er", "Zr"]},
{"num": 42, "name": "Mo", "deriv": ["Nb"]},
{"num": 43, "name": "Tc", "deriv": ["Mo"]},
{"num": 44, "name": "Ru", "deriv": ["Eu", "Ca","Tc"]},
{"num": 45, "name": "Rh", "deriv": ["Ho", "Ru"]},
{"num": 46, "name": "Pd", "deriv": ["Rh"]},
{"num": 47, "name": "Ag", "deriv": ["Pd"]},
{"num": 48, "name": "Cd", "deriv": ["Ag"]},
{"num": 49, "name": "In", "deriv": ["Cd"]},
{"num": 50, "name": "Sn", "deriv": ["In"]},
{"num": 51, "name": "Sb", "deriv": ["Pm", "Sn"]},
{"num": 52, "name": "Te", "deriv": ["Eu", "Ca","Sb"]},
{"num": 53, "name": "I", "deriv": ["Ho", "Te"]},
{"num": 54, "name": "Xe", "deriv": ["I"]},
{"num": 55, "name": "Cs", "deriv": ["Xe"]},
{"num": 56, "name": "Ba", "deriv": ["Cs"]},
{"num": 57, "name": "La", "deriv": ["Ba"]},
{"num": 58, "name": "Ce", "deriv": ["La", "H","Ca","Co"]},
{"num": 59, "name": "Pr", "deriv": ["Ce"]},
{"num": 60, "name": "Nd", "deriv": ["Pr"]},
{"num": 61, "name": "Pm", "deriv": ["Nd"]},
{"num": 62, "name": "Sm", "deriv": ["Pm", "Ca","Zn"]},
{"num": 63, "name": "Eu", "deriv": ["Sm"]},
{"num": 64, "name": "Gd", "deriv": ["Eu", "Ca","Co"]},
{"num": 65, "name": "Tb", "deriv": ["Ho", "Gd"]},
{"num": 66, "name": "Dy", "deriv": ["Tb"]},
{"num": 67, "name": "Ho", "deriv": ["Dy"]},
{"num": 68, "name": "Er", "deriv": ["Ho", "Pm"]},
{"num": 69, "name": "Tm", "deriv": ["Er", "Ca","Co"]},
{"num": 70, "name": "Yb", "deriv": ["Tm"]},
{"num": 71, "name": "Lu", "deriv": ["Yb"]},
{"num": 72, "name": "Hf", "deriv": ["Lu"]},
{"num": 73, "name": "Ta", "deriv": ["Hf", "Pa","H","Ca","W"]},
{"num": 74, "name": "W", "deriv": ["Ta"]},
{"num": 75, "name": "Re", "deriv": ["Ge", "Ca","W"]},
{"num": 76, "name": "Os", "deriv": ["Re"]},
{"num": 77, "name": "Ir", "deriv": ["Os"]},
{"num": 78, "name": "Pt", "deriv": ["Ir"]},
{"num": 79, "name": "Au", "deriv": ["Pt"]},
{"num": 80, "name": "Hg", "deriv": ["Au"]},
{"num": 81, "name": "Tl", "deriv": ["Hg"]},
{"num": 82, "name": "Pb", "deriv": ["Tl"]},
{"num": 83, "name": "Bi", "deriv": ["Pm", "Pb"]},
{"num": 84, "name": "Po", "deriv": ["Bi"]},
{"num": 85, "name": "At", "deriv": ["Po"]},
{"num": 86, "name": "Rn", "deriv": ["Ho", "At"]},
{"num": 87, "name": "Fr", "deriv": ["Rn"]},
{"num": 88, "name": "Ra", "deriv": ["Fr"]},
{"num": 89, "name": "Ac", "deriv": ["Ra"]},
{"num": 90, "name": "Th", "deriv": ["Ac"]},
{"num": 91, "name": "Pa", "deriv": ["Th"]},
{"num": 92, "name": "U", "deriv": ["Pa"]}]
#}}}
# dictionnaire numéro --> élément
# permet de retrouver un élément par son numéro atomique
NUM_OF = {elt["name"]: elt["num"] for elt in ELEMENTS}
#####################################################
# CRÉATION DE LA MATRICE DES DÉRIVATIONS D'ÉLÉMENTS #
#####################################################
# initialisation
matrix = [[0 for _ in range(len(ELEMENTS))] for _ in range(len(ELEMENTS))]
# remplissage
for elt in ELEMENTS:
num = elt["num"]
for dv_elt in elt["deriv"]:
matrix[num-1][NUM_OF[dv_elt]-1] += 1
# conversion en tableau numpy
matrix = np.array(matrix)
# AFFICHER LA MATRICE
print("Matrice 𝑀 :")
print("┏", "━"*92, "┓\n┃",
"┃\n┃".join([''.join([" 12│12─12┼12"[val + 3*(9==col%10) + 6*(9==ln%10)] for col, val in enumerate(line)]) for ln, line in enumerate(matrix)]),
"┃\n┗", "━"*92, "┛",
sep="")
# CALCUL DE λ
eigvals = np.linalg.eigvals(matrix)
λ = eigvals[np.argmax(np.abs(eigvals))]
print(f"λ = {np.real(λ)} + {np.imag(λ)}𝑖")
```
# Bibliographie
Cover, T. M., & Gopinath, B. (1987). _Open problems in communication and computation_. Springer-Verlag.
Ekhad, S. B., & Zeilberger, D. (n.d.). _Proof of Conway’s lost cosmological theorem_. Retrieved [https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/horton.pdf](https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/horton.pdf)
Lairez, P., & Storozhenko, A. (2025). Conway’s cosmological theorem and automata theory. _The American Mathematical Monthly_, _132_(9), 867–882. [https://doi.org/10.1080/00029890.2025.2549225](https://doi.org/10.1080/00029890.2025.2549225)